斐波那契數列性質及推論

推式：
f(0)=1,f(1)=1;f(n)=f(n−1)+f(n−2)(n>=2)$f(0)=1,f(1)=1;f(n)=f(n-1)+f(n-2)(n>=2)$

通項公式：
f(n)=15√[1+5√2n−1−5√2n]$f(n)=\frac{1}{\sqrt{5}}[{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}^n-{\frac{1-\sqrt{5}}{2}}^n]$

性質：

1. gcd(f(i),f(j))=f(gcd(i,j))$gcd(f(i),f(j))=f(gcd(i,j))$
2. 若n|m$n|m$ ，則f(n)|f(m)$f(n)|f(m)$
3. 若f(n)|x$f(n)|x$ ，則f(n∗i)|x$f(n\ast i)|x$
4. ∑ni=1f(i)=f(n+2)−1$\sum _{i=1}^{n}f(i)=f(n+2)-1$

推論：

1. 在模的情況下，斐波那契數列會出現循環，可以打表找出
2. 奇數項求和：f[1]+f[3]+...+f[2n−1]=f[2n]−f[2]+f[1]$f[1]+f[3]+...+f[2n-1]=f[2n]-f[2]+f[1]$ ，偶數項求和：f[2]+f[4]+...+f[2n]=f[2n+1]−f[1]$f[2]+f[4]+...+f[2n]=f[2n+1]-f[1]$ ，平方項求和：f[1]2+f[2]2+.....f[n]2=f[n]∗f[n+1]$f[1{]}^2+f[2{]}^2+.....f[n{]}^2=f[n]\ast f[n+1]$ 。