矩陣法求第n個斐波拉契數

方法一：

矩陣（matrix）定義

一個m*n的矩陣是一個由m行n列元素排成的矩形陣列。矩陣裏的元素可以是數字符號或者數學式.

形如

{acbd}

的數表稱爲二階矩陣，它由二行二列組成，其中a,b,c,d稱爲這個矩陣的元素。

形如 

{x1x2}

的有序對稱爲列向量Column vector

設

A={acbd}

X={x1x2}

則

Y={ax1+bx2cx1+dx2}

稱爲二階矩陣A與平面向量X的乘積，記爲AX=Y

斐波那契(Fibonacci)數列

從第三項開始，每一項都是前兩項之和。 
Fn=Fn − 1 +Fn − 2, n⩾3

把斐波那契數列中 相鄰的兩項Fn和Fn − 1寫成一個2×1的矩陣。 
F0=0 
F1=1

{FnFn−1}

={Fn−1+Fn−2Fn−1}

={1×Fn−1+1×Fn−21×Fn−1+0×Fn−2}

={1110}×{Fn−1Fn−2}

={1110}n−1×{F1F0}

={1110}n−1×{10}

求F(n)等於求二階矩陣的n - 1次方，結果取矩陣第一行第一列的元素，或二階矩陣的n次方，結果取矩陣第二行第一列的元素。

原貼地址：http://blog.csdn.net/flyfish1986/article/details/48014523

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方法二：

例題：

Fibonacci

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Description

In the Fibonacci integer sequence, F₀ = 0, F₁ = 1, and F_n = F_{n − 1} + F_{n − 2} for n ≥ 2. For example, the first ten terms of the Fibonacci sequence are:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …

An alternative formula for the Fibonacci sequence is

.

Given an integer n, your goal is to compute the last 4 digits of F_n.

Input

The input test file will contain multiple test cases. Each test case consists of a single line containing n (where 0 ≤ n ≤ 1,000,000,000). The end-of-file is denoted by a single line containing the number −1.

Output

For each test case, print the last four digits of F_n. If the last four digits of F_n are all zeros, print ‘0’; otherwise, omit any leading zeros (i.e., print F_n mod 10000).

Sample Input

0
9
999999999
1000000000
-1

Sample Output

0
34
626
6875

Hint

As a reminder, matrix multiplication is associative, and the product of two 2 × 2 matrices is given by

.

Also, note that raising any 2 × 2 matrix to the 0th power gives the identity matrix:

.

代碼：

#include<string>
#include<stdlib.h>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<string.h>
using namespace std;
#define mod 10000

struct mat
{
  int a[2][2];
} ans,tem;

mat mul(mat x,mat y)
{
  mat tt;
  memset(tt.a,0,sizeof(tt.a));

  for(int i=0; i<2; i++)
    {
      for(int k=0; k<2; k++)
        {
          if(x.a[i][k]==0) continue;
          
          for(int j=0; j<2; j++)
            {
              tt.a[i][j]=(x.a[i][k]*y.a[k][j]%mod+tt.a[i][j])%mod;
            }
        }
    }

  return tt;
}

void fast(int n)
{
  tem.a[1][0]=tem.a[0][1]=tem.a[0][0]=ans.a[1][1]=ans.a[0][0]=1;
  tem.a[1][1]=ans.a[1][0]=ans.a[0][1]=0;

  while(n>0)
    {
      if(n&1) ans=mul(ans,tem);

      n>>=1;
      tem=mul(tem,tem);
    }

  printf("%d\n",ans.a[0][1]%mod);
}

int main()
{
  int n;
  while(~scanf("%d",&n))
    {
      if(n==-1) break;

      fast(n);
    }
  return 0;
}//FROM CJZ

1、poj不支持萬能頭文件

2、要用到快速冪

3、用個結構體看似沒必要，但是目的是爲了能夠直接傳矩陣數組。這是個必須記住的核心內容。