小波變換（一）

一、何爲小波變換？

小波變換（wavelet transform，WT）是一種新的變換分析方法，它繼承和發展了短時傅立葉變換局部化的思想，同時又克服了窗口大小不隨頻率變化等缺點，能夠提供一個隨頻率改變的“時間-頻率”窗口，是進行信號時頻分析和處理的理想工具。它的主要特點是通過變換能夠充分突出問題某些方面的特徵，能對時間（空間）頻率的局部化分析，通過伸縮平移運算對信號（函數)逐步進行多尺度細化，最終達到高頻處時間細分，低頻處頻率細分，能自動適應時頻信號分析的要求，從而可聚焦到信號的任意細節，解決了Fourier變換的困難問題。

小波變換的實質是：原信號與小波基函數的相似性。小波係數就是小波基函數與原信號相似的係數。

二、傅里葉變換和短時傅里葉變換的缺點

1、傅里葉變換缺點：
（1） Fourier分析不能刻畫時間域上信號的局部特性
（2） Fourier分析對突變和非平穩信號的效果不好，沒有時頻分析
2、短時傅里葉變換缺點：
對於時變的非穩態信號，高頻適合小窗口，低頻適合大窗口。然而STFT的窗口是固定的，在一次STFT中寬度不會變化，所以STFT還是無法滿足非穩態信號變化的頻率的需求。

三、小波變換

對於加窗傅立葉變換讓人頭疼的就是窗口的大小問題，如果我們讓窗口的大小可以改變，不就完美了嗎？答案是肯定的，小波就是基於這個思路，但是不同的是。STFT是給信號加窗，分段做FFT；而小波變換並沒有採用窗的思想，更沒有做傅里葉變換。小波直接把傅里葉變換的基給換了——將無限長的三角函數基換成了有限長的會衰減的小波基。這樣不僅能夠獲取頻率，還可以定位到時間。
這個基函數會伸縮、會平移（其實是兩個正交基的分解）。縮得窄，對應高頻；伸得寬，對應低頻。然後這個基函數不斷和信號做相乘。某一個尺度（寬窄）下乘出來的結果，就可以理解成信號所包含的當前尺度對應頻率成分有多少。於是，基函數會在某些尺度下，與信號相乘得到一個很大的值，因爲此時二者有一種重合關係。那麼我們就知道信號包含該頻率的成分的多少。如前邊所說，小波做的改變就在於，將無限長的三角函數基換成了有限長的會衰減的小波基。

小波公式:

WT(a,τ)=1a−−√∫∞−∞f(t)∗ψ(t−τa)dt$$WT\left(a,\tau \right)=\frac{1}{\sqrt{a}}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f\left(t\right)\ast \psi \left(\frac{t-\tau }{a}\right)dt$$

從公式可以看出，不同於傅里葉變換，變量只有頻率ω，小波變換有兩個變量：尺度a（scale）和平移量 τ（translation）。尺度a控制小波函數的伸縮，平移量 τ控制小波函數的平移。尺度就對應於頻率（反比），平移量 τ就對應於時間。如下圖

當伸縮、平移到這麼一種重合情況時，也會相乘得到一個大的值。這時候和傅里葉變換不同的是，這不僅可以知道信號有這樣頻率的成分，而且知道它在時域上存在的具體位置。
而當我們在每個尺度下都平移着和信號乘過一遍後，我們就知道信號在每個位置都包含哪些頻率成分。

有了小波，我們從此再也不害怕非穩定信號啦！從此可以做時頻分析啦！

小波的知識還有很多，可以再繼續看書學習，希望看到這個文章，可以對小波入門的同學有一定的幫助，下面這篇博客介紹小波變換也寫得相當不錯：
https://blog.csdn.net/qq_20823641/article/details/51829981