從傅里葉級數到傅里葉變換

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傅里葉級數

爲什麼要有傅里葉級數

傅里葉級數（Fourier Series）是用一系列正弦波（Sinusoid）來描述任何周期函數的一種方法。圖1中的三條曲線分別是週期爲1秒的方波，正弦波和三角波。由於正弦和餘弦只有相位差，故統稱正弦波。 

 
圖1. 週期爲1秒的方波，正弦波，三角波

在介紹傅里葉級數之前，讓我們先來回顧一下級數的概念。級數是用一個無窮數列的加和來逼急一個數。函數項級數則是用一個函數列的加和來逼近一個函數。設u1(x),u2(x),u3(x),⋯,un(x),⋯爲定義在(a,b)內的函數序列。則 

∑n=1∞u(x)=u1(x)+u2(x)+u3(x)+⋯+un(x)+⋯

稱爲定義在(a,b)內的函數項級數。爲什麼要把一個看似簡單的函數分解成一大堆函數的和呢？因爲有些函數直接研究起來比較困難，以某種形式的級數進行展開，對裏面的每一項單獨研究，會變得更簡單，也使得計算更加容易。級數有千千萬萬種，如泰勒級數，等比級數，調和級數等等。但是有一種由正弦函數組合而成的級數，顯得尤爲重要。這就是傅里葉級數。爲什麼傅里葉技術格外重要呢？這要歸功於正弦函數優秀的性質。我們將函數展開成級數是爲了獲得更加簡便和易於計算的形式。而當正弦波輸入一個系統時，輸出仍然是一個正弦波，只有振幅、相位和頻率會發生變化，而不像其他的級數會使函數形式本身發生改變。這使得傅里葉級數在分析函數時具有了巨大的優勢。此外，由於通信系統中電磁場與電磁波，以及諸多物理原理都與正弦信號有關，所以造就了傅里葉級數如此重要的地位。

傅里葉級數是怎麼來的

傅里葉級數的得出

假如有兩個周期函數（Periodic Function），它們的頻率分別爲f1和f2，那麼他們的疊加還是一個周期函數嗎？頻率又是多少呢？顯然，兩個不同頻率的周期函數疊加仍然是一個周期函數，疊加後函數的週期是兩個原函數週期的最小公倍數。因此，當一組頻率爲1Hz,2Hz,3Hz,⋯,nHz,⋯的周期函數疊加時，疊加後的函數頻率必然爲1Hz。然而，如果採用了諸如1.1Hz,2.5Hz,3,12435Hz之類頻率的級數項，則輸出頻率將陷入混亂，所以這裏只選取如1Hz,2Hz,3Hz,⋯,nHz,⋯的頻率作爲級數項。1Hz可以作爲基本頻率，改寫作fHz， 則級數項將變爲fHz,2fHz,3fHz,⋯,nfHz,⋯。回想圖1中週期爲1秒的方波函數，我們可以將它表示成 

f(t)=∑n=0∞bn⋅sin(2π⋅n⋅t)n∈N

然而，上面我們所表示的函數恰好是一個週期爲1秒的奇函數。如果用上面的公式來逼近一個偶函數則無法實現。所以，若f(t)是一個週期爲1秒的偶函數，則 

f(t)=∑n=0∞an⋅cos(2π⋅n⋅t)n∈N

因此，當f(t)是一個週期爲T，頻率爲f的一般函數，既有奇函數成分也有偶函數成分，此外，作爲奇函數或偶函數對稱點可能相對原點產生位移，易知這個位移不會影響函數的形狀，可以用一個常數來表示，爲了後續計算方便，這個位移記作a02，則有 

f(t)=a02+∑n=0∞[ancos(2πfnt)＋bnsin(2πfnt)]n∈N

至此，我們已經得到了傅里葉級數的完整表達形式。

傅里葉級數中參數的確定與函數的正交性

那麼如何確定上面公式中的bn呢？在這之前，然我們來談談什麼是函數的正交性。學過線性代數的同學都知道，兩個向量的正交是通過內積爲零來定義的。而內積則是將向量的對應項相乘再求和來得到的。假設我們有一個任意長度的向量，每兩個元素之間的距離無限小，那麼我們就可以把這樣兩個向量看作兩個連續的函數。類比內積的概念，兩個函數正交也就是將兩個函數賦予相同的自變量，再相乘，再做積分，如果積分等於零，則說明這兩個函數在積分域上是正交的。

我們高興的發現，不同頻率的三角函數具有如下的正交性。其中n,m∈N

∫T2−T2sin(2πfnt)sin(2πfmt)dt=⎧⎩⎨mcos(πTfm)sin(πTfn)−ncos(πTfn)sin(πTfm)πf(m2−n2)=0T2−sin(2πTfn)4πfn=T2n≠mn=m∫T2−T2cos(2πfnt)cos(2πfmt)dt=⎧⎩⎨mcos(πTfn)sin(πTfm)−ncos(πTfm)sin(πTfn)πf(m2−n2)=0T2+sin(2πTfm)4πfm=T2n≠mn=m∫T2−T2sin(2πfnt)cos(2πfmt)dt=0

因此，根據上述三角函數間的正交性，我們可以得出

∫T2−T2f(t)dt=a0T2∫T2−T2f(t)cos(2πfnt)dt=anT2∫T2−T2f(t)sin(2πfnt)dt=bnT2

至此，我們已經求得了所有傅里葉級數的參數。如下：

a0=2T∫T2−T2f(t)dtan=2T∫T2−T2f(t)cos(2πfnt)dtbn=2T∫T2−T2f(t)sin(2πfnt)dt

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傅里葉變換

爲什麼要有傅里葉變換

在上一章，我們已經清楚的知道如何使用傅立葉級數去描述任何一個周期函數，其中傅里葉級數將一個周期函數描述成離散頻率正弦函數的組合，即在頻域上離散。然而，我們要分析的函數中常常會有非周期函數，這就需要傅里葉變換而不是傅里葉級數來描述這類函數。頻域不同於時域，是從另一個角度觀察客觀世界的一種方式。其將無限動態的世界看成是註定的和靜止的。從頻域理解世界，更像是上帝看世界的方式。

對於任何一個非周期函數，我們都可以認爲其可以通過一個周期函數的週期趨於無窮轉化而來。週期趨於無窮也就意味着頻率趨於零，以及角速度ω趨於零。也就是說，一個非周期函數會通過傅里葉變換被描述成連續的正弦函數的組合，即在頻域上連續。基於這個思想，傅里葉級數即將演化成傅里葉變換。

從傅里葉級數到傅里葉變換

傅里葉級數的指數形式

讓我們從傅里葉級數開始：

設在以T爲週期的函數fT(x)的連續點處，級數的三角形式爲 

fT(x)=a02+∑n=0∞[ancos(nωt)＋bnsin(nωt)]n∈N

式中，

ω=2πT=2πfa0=2T∫T2−T2f(t)dxan=2T∫T2−T2f(t)cos(2πfnt)dxbn=2T∫T2−T2f(t)sin(2πfnt)dx

爲了以後計算的方便，這裏使用歐拉公式將傅里葉級數中的正弦項和餘弦項整合。

eiθ=cos(θ)+isin(θ)cos(θ)=eiθ+e−iθ2sin(θ)=eiθ−e−iθ2i=−i⋅eiθ−e−iθ2

將sin(θ)和cos(θ)代入傅里葉級數的表達式中，則

fT(x)=a02+∑n=0∞[aneinωt+e−inωt2−ibneinωt−e−inωt2]=a02+∑n=0∞[an−ibn2einωt+an+ibn2e−inωt]

令

c0cnc−nwn=a02=1T∫T2−T2fT(x)dx=an−ibn2=1T⎡⎣∫T2−T2fT(x)cos(nωx)dx−i∫T2−T2fT(x)sin(nωx)dx⎤⎦=1T∫T2−T2fT(x)[cos(nωx)−isin(nωx)]=1T∫T2−T2fT(x)[einωx+e−inωx2−i⋅(−i)⋅einωx−e−inωx2]=1T∫T2−T2fT(x)e−inωxdx=an+ibn2=1T∫T2−T2fT(x)einωxdx=nωn∈Z

代入fT(x)有 

fT(x)=c0+∑n=0∞(cneiwnx+c−ne−iwnx)=∑−∞+∞cneiwnx

至此，我們得到了傅里葉級數的指數形式

fT(x)=1T∑−∞+∞⎡⎣∫T2−T2fT(τ)e−iwnτdτ⎤⎦eiwnx

極限求得傅里葉變換

在爲什麼要有傅里葉級數一節中，我們已經說過傅里葉變換其實就是傅里葉級數的週期趨近於無窮。因此，假設我們的目標非周期函數爲f(x)，由傅里葉級數逼近的周期函數爲fT(x)，則

limT→+∞fT(x)=f(x)=limT→+∞1T∑−∞+∞⎡⎣∫T2−T2fT(τ)e−iwnτdτ⎤⎦eiwnx

當n∈Z，

Δw=wn−wn−1=2πTT=2πΔw

因此，當T→+∞時，有Δw→0，則

limT→+∞fT(x)=limΔw→012π∑−∞+∞⎡⎣∫T2−T2fT(τ)e−iwnτdτ⎤⎦eiwnxΔw

當x固定時，12π[∫T2−T2fT(τ)e−iwnτdτ]eiwnx是參數w的函數，記作ΦT(w)，即

ΦT(w)=12π⎡⎣∫T2−T2fT(τ)e−iwτdτ⎤⎦eiwx

因此，

f(x)=limΔw→0∑−∞+∞ΦT(w)Δw

當T→+∞，即ω→0，Δw→0，ΦT(w)→Φ(w)。 
其中，

Φ(w)=12π[∫+∞−∞f(τ)e−iwτdτ]eiwx

此時f(x)可以看作Φ(w)在(−∞,+∞)上的積分，f(x)=∫+∞−∞Φ(w)dw，即

f(x)=12π∫+∞−∞[∫+∞−∞f(τ)e−iwτdτ]eiwxdw

因此，將x替換成t，則 

F(ω)=∫+∞−∞f(τ)e−iwτdτ=F[f(τ)]f(t)=12π∫+∞−∞F(ω)eiωtdω=F−1[F(ω)]

從上面兩個式子我們可以看出，第一個式子相當於將一個時域函數f(τ)變換成了頻域函數F(ω)，而第二個式子相當於將頻域函數F(ω)變換爲時域函數f(t)。那麼一個時域函數變換到頻域後，再變換回時域，還是不是它自身呢？這個問題就相當於f(τ)=f(t)是否成立，也可以說成傅里葉變換是不是一一對應的。下面我們用反證法來探究這個問題。

假設傅里葉變換不是一一對應的。那麼應該有

f(τ)≠f(t)

由於f(τ)進行傅里葉變換，爲F(ω)。若假設成立，f(t)的傅里葉變換應不一定爲F(ω)。下面我們來計算f(t)的傅里葉變換。

F[f(t)]=F{12π∫+∞−∞[∫+∞−∞f(τ)e−iωτdτ]eiωtdω}=∫+∞−∞{12π∫+∞−∞[∫+∞−∞f(τ)e−iωτdτ]eiωtdω}e−iwtdt=F[f(τ)]

因此，假設不成立。傅里葉變換具有一一對應性。至此，我們已經完整的得到了傅立葉變換。

總結：傅里葉級數是傅里葉變換的逆函數

傅里葉級數在頻域是相當於對應的餘弦和正弦的係數，在時域就是三角函數求和值的連續顯示，傅里葉變換正好相反