如何理解離散傅里葉變換

爲了方便討論，以下用的都是邏輯頻率和週期，先給出邏輯頻率和週期的定義：

頻率f：整個序列（數組）中有幾個這個正弦波的週期
週期T：這個正弦波一個週期中的採樣點數
頻率f∗周期T=整個序列採樣點數N$頻率f\ast 周期T=整個序列採樣點數N$

邏輯頻率和物理頻率的轉換，可以直接把邏輯頻率縮放到物理頻率：
物理頻率=fN∗採樣率（Hz）$物理頻率=\frac{f}{N}\ast 採樣率（Hz）$

離散傅里葉變換（DFT）的公式：

X(f)=∑t=0N−1x(t)ei∗fN∗2π∗t,t,f=0,1,...,N−1=∑t=0N−1x(t)cos(fN∗2π∗t)+i∗x(t)sin(fN∗2π∗t)$$\begin{gathered} X(f)=\sum _{t=0}^{N-1}x(t)e^{i\ast \frac{f}{N}\ast 2\pi \ast t},t,f=0,1,...,N-1 \\ =\sum _{t=0}^{N-1}x(t)cos(\frac{f}{N}\ast 2\pi \ast t)+i\ast x(t)sin(\frac{f}{N}\ast 2\pi \ast t) \end{gathered}$$

其中x(t)爲時域信號數組，X(f)爲頻域數組，把f=0~N-1代入X(f)，就能得到各個頻率的正弦波（結果是個複數，幅值爲複數的模，初相爲 arctan(虛部實部)$arctan(\frac{虛部}{實部})$ ）
各正弦波的頻率 f=0,1,2,3,...,N−1$f=0,1,2,3,...,N-1$
週期 T=Nf=∞,N,N2,N3,...,NN−1$T=\frac{N}{f}=\infty ,N,\frac{N}{2},\frac{N}{3},...,\frac{N}{N-1}$

例如下圖藍色曲線頻率爲3，幅值爲2；紅色曲線頻率爲16，幅值爲1。把它們相加就得到了綠色曲線。對綠色曲線採樣，做DFT後得到頻域爲圖的下半部分（x軸爲頻率，y軸爲幅值）

（因爲整個時域序列相加了， 正頻率幅值+負頻率幅值序列長度N$\frac{正頻率幅值+負頻率幅值}{序列長度N}$ 纔是原來的正弦波幅值，所以IDFT公式前面要乘1/N）

由DFT的公式可知，X(1)~X(N/2-1)和X(N-1)~X(N/2+1)是共軛複數。N/2+1~N-1又叫負頻率，因爲DFT得到的頻域函數也是周期函數，X(N/2+1)~X(N-1)和X(-N/2+1)~X(-1)的值相等。用具體例子理解負頻率：有個車輪順時針旋轉，如果旋轉頻率增大到人眼採樣頻率的N/2+1~N-1，即負頻率，看起來車輪就是逆時針旋轉了

根據採樣定理（香農定理、奈奎斯特定理），只有頻率小於採樣頻率/2的信號能無損還原，N/2叫做奈奎斯特頻率。我們能用到的實際上只有直流量和正頻率（f=0~N/2-1）

頻率超過N/2會怎麼樣

f=31，隨着頻率增加，正負頻率越來越靠近N/2

f=32，每個週期剛好採樣到2個點（再增大就只有1個點了），正負頻率合爲了奈奎斯特頻率

這個時候信號已經失真了，比如相位超前90°，採樣到的就全是0

f=33，採樣到的點看起來和f=31一樣，算得頻率就是31

f=63，頻率繼續增加，採樣到的點頻率反而減小了，這裏和f=1一樣

f=64，看起來就是直流信號

f=65，又和f=1一樣了

DFT做了什麼

我們只看實數部分，虛數部分同理，只是用sin表示正弦波，相位差了90°。DFT其實就是把時域信號加權相加，權值等於相應頻率，幅值爲1的cos序列

爲什麼這樣就能把不同頻率的正弦波分開

這是利用了三角函數的正交性，即頻率爲0, 1, 2, … 的任意兩個正弦波乘積在整個週期（採樣序列）積分（求和）爲0

例如 x(t)=(f=3的正弦波+f=16的正弦波)$x(t)=(f=3的正弦波+f=16的正弦波)$ ，x(t)與f=3的正弦波相乘後就變成了 (f=3的正弦波∗f=3的正弦波+f=16的正弦波∗f=3的正弦波)$(f=3的正弦波\ast f=3的正弦波+f=16的正弦波\ast f=3的正弦波)$ ，再求和後，第二項變爲0消掉了，只有頻率相同的第一項留了下來

如果不正交呢

下圖爲頻率爲3.5的情況

可以看出整個頻域範圍幅值都不爲0，就像幅值從頻率3.5泄露出去了，這種現象叫做頻譜泄露。DFT其實把原信號當成了無限長序列信號，如下圖，原信號改變了，所以頻域也變了

其實就是把正弦波截斷後，週期不完整了，出現了非整數的頻率，破壞了三角函數的正交性。實際應用中難免截斷完整週期，爲了減少頻譜泄露的影響，有兩種方法，一種是把原信號加窗後再DFT；另一種是增加用來變換的序列長度，這樣可以把頻率分得更細，讓三角函數更接近正交