圖形學中座標點和座標系的變換

關於這方面之前看了好2次，雖然內容很簡單，但是每次看了就忘了，只有大概的印象。等到下次做什麼東西的時候需要用到座標變換，又要把書重新看一遍。所以這次打算把看的東西記下來，以後找起來方便。

參考書 Computer Graphics OpenGL 版本，3rd Edition

************************************ 齊次座標

齊次座標的意義：如果沒有齊次座標，對於任何一個點（x，y，z）和向量（x，y，z），我們是無法區分的。如果把非齊次座標的形式直接應用到算法裏面，編程過程中要區分二者不是不可以，但是很麻煩。 但是一旦有了齊次座標，我們就可以很容易區分二者了

齊次座標的引入：爲了區分一個tuple到底是點還是向量，我們可以這樣看。假設座標系C基向量爲 i，j，k，原點爲 。那麼一個向量 

.  （1）

如果這個向量的起點爲原點，終點爲P，那麼

所以 

  （2）

把上面（1）（2）寫成矩陣形式就是

其中（x，y，z，0）就是向量v在座標系C下的座標。（x，y，z，1）就是點P在座標系C下的座標。

注意：

1. 如果要把基向量i，j，k的座標和原點 的座標找到，則還需要定義一個參考座標系R，在R裏面去量化 i，j，k， ；否則它們只能用符號表示。

2. 在齊次座標下，向量的任何線性組合都有意義，都是向量。 但是點只有放射組合纔有意義，纔是點。 一個點和起始於該點的向量的線性組合是一個線性插值。

*********************************  仿射變換

放射變換一般形式：

仿射變換的一個性質是 (M*P，M*P2，...，M*Pn) = M*(P1，P2，...，Pn)，這個性質帶來的好處就是，對目標圖形的一批點，我們只需要計算一次變換矩陣M，而不是對每一個點都算！

1. 平移

2. 縮放

3. 錯切

形式太多，略

4. 旋轉

繞x軸，pitch

繞y軸，yaw

繞z軸，roll

其中，c=cos( ), s=sin( )

定理：一個點繞過原點的軸u 旋轉等價於分別繞x y z軸旋轉特定的角度。

由該定理可以得到繞u軸旋轉角度的一步變換矩陣：

其中，c=cos， s=sin，x y z是u向量的座標

5. 連續的進行放射變換 M1，M2，M3，。。。Mn，最後的變換矩陣爲： 

6. 把新的點變回原來的點，變換矩陣爲M的逆

*************************************** 座標系變換

1. 先考慮上面仿射變換矩陣M。設

其中，mi 是M的各個列向量

如果我們設在一個參考座標系R下，該座標系C的基向量  i，j，k 是單位正交基，並且原點=（0, 0, 0 | 1）^T，那麼把M本別作用於向量 i，j，k (其次座標表示的)，得到

m1=M*i m2=M*j m3=M*k m4=M*

從而新座標系的基向量爲 m1 m2 m3 m4。 如果Q=MP，那麼Q=(m1, m2, m3, m4)*(Px, Py, Pz, 1)^T，原來在新座標系下，Q的座標值等於P ！！！！ exciting

再仔細看m1～m3，除了錯切，其餘三種得到的m1～m3保持原基向量組的正交性！

2. 下面考慮一般的座標變換。

設 仿射變換爲T, 由原座標系C和變換T 得到新座標系C‘

其中 新舊座標系的基向量和原點座標均在一個參考座標系R下刻畫。如果我們在參考系R下找一個點P，那麼分別在座標系C和座標系C’ 下，同一個點P的座標值是不同的。因爲度量標準（座標系）不同。

設P在C下的座標爲（a，b，c，1），在C‘ 下座標爲（a’，b‘，c’，1），所以

所以，即 

因爲i 非零向量，所以 a=T*a‘。 同理可得其他分量的關係，從而

注意到T是仿射變換，所以T的第四行是（0,0,0,1），所以上式第四個等式是成立的。

3.  連續的座標變換 T1，T2，。。。Tn 後，最後的變換矩陣爲 

4. 從新座標變回舊座標，變換矩陣爲T的逆矩陣。