如何理解离散傅里叶变换

为了方便讨论，以下用的都是逻辑频率和周期，先给出逻辑频率和周期的定义：

频率f：整个序列（数组）中有几个这个正弦波的周期
周期T：这个正弦波一个周期中的采样点数
频率f∗周期T=整个序列采样点数N$频率f\ast 周期T=整个序列采样点数N$

逻辑频率和物理频率的转换，可以直接把逻辑频率缩放到物理频率：
物理频率=fN∗采样率（Hz）$物理频率=\frac{f}{N}\ast 采样率（Hz）$

离散傅里叶变换（DFT）的公式：

X(f)=∑t=0N−1x(t)ei∗fN∗2π∗t,t,f=0,1,...,N−1=∑t=0N−1x(t)cos(fN∗2π∗t)+i∗x(t)sin(fN∗2π∗t)$$\begin{gathered} X(f)=\sum _{t=0}^{N-1}x(t)e^{i\ast \frac{f}{N}\ast 2\pi \ast t},t,f=0,1,...,N-1 \\ =\sum _{t=0}^{N-1}x(t)cos(\frac{f}{N}\ast 2\pi \ast t)+i\ast x(t)sin(\frac{f}{N}\ast 2\pi \ast t) \end{gathered}$$

其中x(t)为时域信号数组，X(f)为频域数组，把f=0~N-1代入X(f)，就能得到各个频率的正弦波（结果是个复数，幅值为复数的模，初相为 arctan(虚部实部)$arctan(\frac{虚部}{实部})$ ）
各正弦波的频率 f=0,1,2,3,...,N−1$f=0,1,2,3,...,N-1$
周期 T=Nf=∞,N,N2,N3,...,NN−1$T=\frac{N}{f}=\infty ,N,\frac{N}{2},\frac{N}{3},...,\frac{N}{N-1}$

例如下图蓝色曲线频率为3，幅值为2；红色曲线频率为16，幅值为1。把它们相加就得到了绿色曲线。对绿色曲线采样，做DFT后得到频域为图的下半部分（x轴为频率，y轴为幅值）

（因为整个时域序列相加了， 正频率幅值+负频率幅值序列长度N$\frac{正频率幅值+负频率幅值}{序列长度N}$ 才是原来的正弦波幅值，所以IDFT公式前面要乘1/N）

由DFT的公式可知，X(1)~X(N/2-1)和X(N-1)~X(N/2+1)是共轭复数。N/2+1~N-1又叫负频率，因为DFT得到的频域函数也是周期函数，X(N/2+1)~X(N-1)和X(-N/2+1)~X(-1)的值相等。用具体例子理解负频率：有个车轮顺时针旋转，如果旋转频率增大到人眼采样频率的N/2+1~N-1，即负频率，看起来车轮就是逆时针旋转了

根据采样定理（香农定理、奈奎斯特定理），只有频率小于采样频率/2的信号能无损还原，N/2叫做奈奎斯特频率。我们能用到的实际上只有直流量和正频率（f=0~N/2-1）

频率超过N/2会怎么样

f=31，随着频率增加，正负频率越来越靠近N/2

f=32，每个周期刚好采样到2个点（再增大就只有1个点了），正负频率合为了奈奎斯特频率

这个时候信号已经失真了，比如相位超前90°，采样到的就全是0

f=33，采样到的点看起来和f=31一样，算得频率就是31

f=63，频率继续增加，采样到的点频率反而减小了，这里和f=1一样

f=64，看起来就是直流信号

f=65，又和f=1一样了

DFT做了什么

我们只看实数部分，虚数部分同理，只是用sin表示正弦波，相位差了90°。DFT其实就是把时域信号加权相加，权值等于相应频率，幅值为1的cos序列

为什么这样就能把不同频率的正弦波分开

这是利用了三角函数的正交性，即频率为0, 1, 2, … 的任意两个正弦波乘积在整个周期（采样序列）积分（求和）为0

例如 x(t)=(f=3的正弦波+f=16的正弦波)$x(t)=(f=3的正弦波+f=16的正弦波)$ ，x(t)与f=3的正弦波相乘后就变成了 (f=3的正弦波∗f=3的正弦波+f=16的正弦波∗f=3的正弦波)$(f=3的正弦波\ast f=3的正弦波+f=16的正弦波\ast f=3的正弦波)$ ，再求和后，第二项变为0消掉了，只有频率相同的第一项留了下来

如果不正交呢

下图为频率为3.5的情况

可以看出整个频域范围幅值都不为0，就像幅值从频率3.5泄露出去了，这种现象叫做频谱泄露。DFT其实把原信号当成了无限长序列信号，如下图，原信号改变了，所以频域也变了

其实就是把正弦波截断后，周期不完整了，出现了非整数的频率，破坏了三角函数的正交性。实际应用中难免截断完整周期，为了减少频谱泄露的影响，有两种方法，一种是把原信号加窗后再DFT；另一种是增加用来变换的序列长度，这样可以把频率分得更细，让三角函数更接近正交