插值條件
φ(xi)=f(xi)=yi,i=0,1,...,n
唯一性定理
給定{(xi,yi)|i=0,1,...,n} ,則滿足插值條件的n 次多項式pn(x) 唯一.
n 次拉格朗日插值多項式
Ln(x)=∑k=0nlk(x)yk
Rn(x)=f(n+1)(ξx)(n+1)!ωn+1(x)
ξx∈(a,b)且與x有關
n 次拉格朗日基函數
形式
lk(x)=∏j=0j≠knx−xjxk−xj
性質
取f(x)=xk,k=0,1,...⇒∑i=0nli(x)xki=xk
特別地，當k=0時,∑i=0nli(x)=1
Newton插值多項式
差商
形式
f[x0,x1]=f(x1)−f(x0)x1−x0
...
f[x0,x1,...,xn]=f[x1,x2,...,xn]−f[x0,x1,...,xn−1]xn−x0
性質
1.線性組合
2.任意排列
3.
n⩾k 時，
f[x0,x1,...,xn−1,x] 是
n−k 次多項式；
n<k 時，
f[x0,x1,...,xn−1,x]=0
4.
f[x0,x1,...,xk]=f(k)(ξ)k!
Newton插值多項式
形式
f(x)=Nn(x)+Rn(x)
Nn(x)=f(x0)+(x−x0)f[x0,x1]+...+(x−x0)(x−x1)...(x−xn−1)f[x0,x1,...,xn]
Rn(x)=(x−x0)(x−x1)...(x−xn)f[x0,x1,...,xn,x]
f[x0,x1,...,xn,x]=f(n)(ξx)(n+1)!
遞推
Nk+1(x)=Nk(x)+ωk+1(x)f[x0,x1,...,xk+1]
Hermite插值
待續。。。
正則多項式
待續。。。
最小二乘法
給定數據集{(xi,yi)|i=0,1,...,m} ,經驗函數y=∑nj=0φj(x)aj ,則φj=(φj(x0),φj(x1),...,φj(xm))T ，f=(y0,y1,...,ym)T ，(φj,φk)=∑mi=0ρ(xi)φj(xi)φk(xi) ，(f,φj)=∑mi=0ρ(xi)φj(xi)yi
正則方程組爲
⎡⎣⎢⎢⎢⎢(φ0,φ0)(φ1,φ0)...(φn,φ0)(φ0,φ1).....................(φ0,φn)......(φn,φn)⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢a0a1...an⎤⎦⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢(f,φ0)(f,φ1)...(f,φn)⎤⎦⎥⎥⎥⎥
擬合曲線
φ∗(x)=p∗n(x)=∑i=0nφ∗i(x)a∗i
均方誤差
∥∥δ∗∥∥2=[∑i=0mρi(φ∗(xi)−yi)2]12
