數值分析 第一章 緒論

基本概念

說明：以下公式中，都是使用近似值x 去近似準確值x∗ 。可分別得到絕對誤差，絕對誤差限，相對誤差和相對誤差限。

絕對誤差

e=x∗−x

絕對誤差限

|e|⩽ε

相對誤差

er=x∗−xx∗(定義式)

er=x∗−xx(實際使用)

相對誤差限

εr=ε|x|

四捨五入的絕對誤差限

凡是由精確值經過四捨五入得到的近似值，其絕對誤差限等於該近似值末數位的半個單位。

ε=該近似值末數位的半個單位

有效數字

定義1.1 n 位有效數字

設數x 是數x∗ 的近似值。如果x 的絕對誤差限是它的某一位的半個單位，並且從x 左起第一個非零數字到該位共有n 位，則稱這個n 個數字爲x 的有效數字，也稱用x 近似x∗ 時具有n 位有效數字。
數x 總可以寫成如下的形式：

x=±0.α1α2...αk×10m(α1≠0)

1. 若x 具有n 位有效數字 ⇔|x∗−x|⩽12×10m−n
2. 若x 具有n 位有效數字 ⇒⎧⎩⎨εr⩽12α1×10m−nε⩽0.α1α2...αk×10m2(α1+1)×101−n

數值計算中的幾個原則

1. 避免兩個相近的數相減
2. 防止大數“吃掉”小數
3. 絕對值太小的數不宜作除數
4. 注意簡化計算程序，減少計算次數
5. 選用數值穩定性好的算法