數值分析 第四章 非線性方程組求根

壓縮映射

定義4.1 壓縮映射

{|φ(x2)−φ(x1)|=L|x2−x1|L<1⇒φ(x)爲壓縮映射.

性質

1. 若φ(x) 爲壓縮映射 ⇒φ(x)連續
2. {φ(x)連續∣∣φ′(x)∣∣⩽L<1⇒φ(x)爲壓縮映射.

收斂

收斂條件

⎧⎩⎨⎪⎪φ(x)∈C1[a,b]∣∣φ′(x)∣∣⩽L<1a⩽L⩽b⇒φ(x)收斂於唯一根α，α∈[a,b]

p 階收斂

定義4.2 迭代法p階收斂

limk→∞|ek+1||ek|p=C≠0

或

|xk+1−α|≈C|xk−α|p

這裏ek=xk−α .則稱迭代法是p階收斂的.

定理4.1

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪φ(x)在α鄰域內充分光滑φ(α)=αφ′(α)=φ′′(α)=...=φ(p−1)(α)=0φ(p)(α)≠0p⩾2⇒limk→∞|ek+1||ek|p=1p!∣∣φ(p)(α)∣∣≠0

Newton方法

切線法

形式

xk+1=xk−f(xk)f′(xk)

收斂
當|x0−α|<2m1M2 時切線法收斂，其中m1 爲f′(x) 的最小值，M2 爲f′′(x) 的最大值。切線法爲一階收斂（或線性收斂），即p=1 .

簡單Newton法

形式

xk+1=xk−f(xk)M,M=f′(x0)

收斂
簡單Newton法爲線性收斂，即p=1 .

割線法

形式

xk+1=xk−f(xk)f(xk)−f(xk−1)xk−xk−1

收斂

limk→∞ek+1ekek−1=f′′(α)2f′(α)

割線法收斂階爲p=1+5√2 .

帶參m 重根

因m 重根，故設f(x)=(x−α)mh(x) ，對f(x) 求1m 次冪有[f(x)]1m=(x−α)[h(x)]1m .變成了單根。因此，便有了以下的迭代公式：
形式

xk+1=xk−[f(x)]1m([f(x)]1m)′=xk−mf(xk)f′(xk)

收斂
該方法爲二階收斂（或平方收斂），即p=2 .

無參m 重根

設輔助函數u(x)=f(x)f′(x)=(x−α)mh(x)[(x−α)mh(x)]′=(x−α)h¯(x) .
形式

xk+1=xk−u(x)u′(x)

收斂
該方法爲二階收斂（或平方收斂），即p=2 .