平稳时间序列分析
一个序列经过预处理被识别为平稳非白噪声序列,就说明该序列是一个蕴含着相关信息的平稳序列。在统计上,我们通常是建立一个线性模型来拟合该序列的发展,借此提取该序列中的有用信息。ARMA(auto regression moving average)模型是目前最常采用的平稳序列拟合模型。
1.方法性工具
1.1 差分运算
一阶差分:
∇xt=xt−xt−1
二阶差分:
∇2xt=∇xt−∇xt−1
p阶差分:
∇pxt=∇p−1xt−∇p−1xt−1
k步差分:
∇k=xt−xx−k
1.2 延迟算子
延迟算子类似于一个时间指针,当前序列值乘以一个延迟算子,就相当于把当前序列值的时间向过去拨了一个时刻。记B为延迟算子,有:
xt−1=Bx1
xt−2=B2x1
...
xt−p=Bpx1
延迟算子有如下性质:
1.
b0=1
2.若c为任意常数,有
B(c⋅xt)=c⋅B(xt)=c⋅xt−1
3.对任意两个序列
xt,yt ,有
B(xt±yt)=xt−1±yt−1
4.
Bnxt=xt−n
5.
(1−B)n=∑ni=0(−1)nCinBi ,其中
Cin=n!i!(n−i)!
用延迟算子表示差分运算:
1.p阶差分:
∇pxt=(1−B)pxt=∑i=0p(−1)pCipxt−i
2.k步差分:
∇k=xt−xt−k=(1−Bk)x
1.3线性差分方程
称如下形式的方程为序列{zt,t=0,±1,±2,...} 的线性差分方程:
zt+a1zt−1+a2zt−2+...+apzt−p=h(t)
式中,
p≥1;a1,a2,...,ap 为实数;
h(t) 为t的已知函数。
特别地,若
h(t)=0 ,则差分方程
zt+a1zt−1+a2zt−2+...+apzt−p=0
为齐次线性差分方程,否则称为非齐次线性差分方程。
2. ARMA模型的性质
ARMA模型的全称是自回归移动平均(auto regression moving average)模型,是常用的拟合平稳序列的模型。
2.1AR模型
具有如下结构的模型称为p阶自回归AR模型,简记为AR(p) :
⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪xt=ϕ0+ϕ1xt−1+ϕ2xt−2+...+ϕpxt−p+ϵtϕpx≠0E(ϵ)=0,Var(ϵt)=σ2t,E(ϵtϵs)=0,s≠tExtϵt=0,∀s<t
令:
μ=ϕ01−ϕ0−...−ϕp,yt=xt−μ
则yt 为xt 的中心化序列。中心化序列实际上是非中心化序列平移了一个常数单位。
引入延迟算子,中心化AR(p)模型又可以简记为:
ψ(B)xt=ϵt
式中,
ψ(B)=1−ϕ1B−ϕ2B2−...−ϕpBp ,称为p阶自回归系数多项式。
2.2.AR模型平稳性判别
AR模型是常用平稳序列的拟合模型之一,但并非所有的AR模型都是平稳的。
图示法可以粗糙地判别AR模型是否为平稳模型,更精确的方法是:特征根判别和平稳域判别。
特征根判别:AR模型平稳的等价判别条件是该AR模型的自回归系数多项式的根,即
ψ(u)=0 的根,都在单位圆外。
平稳域判别:如果AR(p)模型平稳,则参数向量
(ϕ1,ϕ2,...,ϕp) 只能取p维欧氏空间的一个子集,使得特征根都在单位圆内的系数集合。
2.3 平稳AR模型的统计性质
1.均值
Ext=μ
2.方差
Var(xt)=∑j=0∞G2jσ2ϵ
其中G为格林函数,呈负指数下降,说明平稳AR序列方差有界。
3.自相关系数 (ACF)
平稳AR模型具有两个显著特性:一是拖尾性,二是呈负指数衰减。
4.偏自相关系数 (PACF)
对于平稳序列
xt ,所谓滞后k偏自相关系数是指在剔除了
k−1 个随机变量
xi−1,xi−2,...,xi−k+1 的干扰之后,
xt−k 对
xt 影响的相关度量。
ρxt,xt−k|xt−1,...,xx−k+1=E[(xt−E^xt)(xt−kl−E^xt−k)]E[(xt−k−x^t−k)]
偏自相关系数具有p步截尾性:
ϕkk=0,∀k>p
2.4 MA模型
具有如下结构的模型称为q阶移动平均(moving average)模型,简记为MA(q):
⎧⎩⎨⎪⎪xt=μ+ϵt−θ1ϵt−1−θ2ϵt−2−...−θqϵt−qθq≠0E(ϵt)=0,Var(ϵt)=σ2ϵ,E(ϵtϵs)=0,s≠t
对非中心化MA(q)模型,只要做一个简单的位移,
yt=xt−μ ,就可以转化为中心化MA(q)模型。
使用延迟算子,中心化MA(q)模型又可以简记为:
xt=Θ(B)ϵt
式中,
Θ(B)=1−θ1B−θ2B2−...−θqBq ,称为q阶移动平均系数多项式。
2.5 MA模型的统计性质
1.常数均值
Ext=μ)
2.常数方差
Var(xi)=(1+θ21+...+θ2q)σ2t
3.自协方差函数只与滞后阶数相关,且q阶截尾
4.自相关系数q阶截尾
5.偏自相关系数拖尾