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昔日的神童，今日的數學明星
昨天翻了翻，第一個印象是言簡意賅，語言平實，而且本來以爲高智商老師的敘述一定是高度抽象的傳統教學思路，不過看了一下感覺非常的簡潔明瞭，很易讀。這本書改變我對數學人才的看法，因爲在本科期間學習《實變函數》時，代課老師是爲稍顯木訥的青年老師，學術成績是公認的好，但是講課實在難以恭維，思路不清，照本宣科，完全讓人摸不到頭腦。那時，不僅懷疑是不是做數學前沿的研究過深的人就會在傳業授道上遇到問題。這種印象並不是一時產生的，陳景潤先生便算上是一例，聽說他講課時經常停頓，繼而苦思冥想，竟講不出話來。
儘管沒有機會親身聽陶老師講課，但是看着他的書（由講義改編），便覺得他不僅研究做得好，教學也很有一套，這樣纔是大師風采。如下前言部分就見得他對數學教學的思考：
“本科生普遍認爲實分析是最難學的課程之一，這不僅是由於許多抽象概念（例如拓撲、極限、可測性，等等）初次遇到，而且也是由於課程所要求的證明的高度嚴格性。由於認識到這個困難，老師常常面臨艱難的選擇：
要麼降低課程的嚴格性水平，而使其容易一些；
要麼保持嚴格的標準，而去面對衆多學生。甚至是很多優秀學生在與課程的材料進行艱難奮鬥時的求助與期盼。
面對此困境，我嘗試用一種稍許不同的方式處理這門課程。按照典型的方式，在實分析中一系列導引內容是預先假定了的：假定學生已經熟知實數，熟知數學歸納法，熟悉初等微積分，並且熟悉集合論的基礎知識，然後一下子進入課程的核心內容，例如極限概念。通常確實會給進入課程的學生輕描淡寫地展示一下一些預備性的知識，但是在絕大多數情況下，這些材料都不是認真的敘述的。例如，極少有同學能夠真正的定義實數，甚或真正的定義整數，儘管他們可以直覺地想象這些數字並熟練地對它們進行代數運算。我覺得這好像是失去一個良好的機會，在學生首次遇到的課程當中，實分析（與線性代數和抽象代數一樣）是這樣的一門課，人們確實必須全力抓住一個真正嚴格的數學證明的本質。正因如此，這門課程提供了一個極好的機會去回顧數學的基礎，特別是提供了一個做出實數的真正精確地解釋的機會。
”
想起第一次數學分析課程時，便是陶哲軒所言的一種痛苦的經歷。教材思路是首先講述實數的四則運算，繼而是費解的阿基米德性，接着就是直奔主題的上下確界，後面就是最讓人崩潰的epsilon-delta的極限定義。接着，就是函數，基本函數...
話說今日，我檢驗表妹們的數學水平的一大標準就是講出函數的定義。有一天，當我問出這個問題時，我突然也惶恐起來，我發覺我對函數的定義也模糊起來，是不是真的就沒有清晰的認識。後來翻開本科教材，發現確實沒有進行清晰的定義，一句" 形如XX的，我們稱之爲XX " ，便把我們打發了。用若干實例來闡述抽象概念顯然是沒有說服力的，這就像將理論和應用混爲一談。其實本質問題就在於首先我們沒有從基本的概念學期，無奈沙基築高臺，早晚要像我一樣惶恐起來。
另外，如何做好嚴謹與“通俗”間的平衡，陶哲軒在抽象與直觀、形式與直覺上也有非常有益的論述：
“ 此書中的敘述十分強調嚴格性及形式化，但這並不是說基於此書的講課必須遵循同樣的方式。實際上在我自己的教學中，我曾用課堂上的時間來揭示隱於概念之後的直觀形象（畫很多非規範的圖形並舉例），從而給課文中的規範表示提供一個補充觀點。作爲家庭作業而設置的習題在概念和直觀形象之間提供了本質的橋樑，要求學生把直觀與形式理解兩者結合起來，以做出對一個問題的正確證明。我發現對於學生來說，這是最困難的工作，因爲它要求對所學內容的真確理解而不是隻是記住或含混不清地吸收。然而我從學生那裏得到的反饋是，由於上述緣故，家庭作業是非常必要的，同時也是非常有益處的，因爲這些作業使他們把相當抽象的數學形式處理與他們對於譬如數、集合以及函數等基本概念的天然直覺聯繫了起來。
”
這一點和我的一直以來的認知方法非常的相符，因爲我發現除非我找到抽象概念下的形象表示抑或幾何意義，則不能理解甚至排斥接受這個概念抑或定理。個人非常看重將抽象與直觀聯繫起來的種種學習方法，樂於爲抽象概念找到實例，並每當發現一種巧妙聯繫便興奮不已。另外，對於家庭作業以及考試，也不謀而合。通過上陳老師的算法課程，我覺得家庭作業必須有，但選擇合適的作業需要老師的慎重考慮。如果不慎重的考慮選題，淪爲題海戰術，一則讓學生疲於奔命，上課興趣索然；二則更嚴重的後果就是讓學生主次不分，精於規則和技巧，反而忽略了本質的思想，實在本末倒置。明白本質思想，才能舉一而反三，所以題目要有，但是選擇合適的作業實在要考驗老師的功底水平和教學態度，題海戰術實在是下策。關於考試，陶哲軒有以下的話，我覺得也非常受用，因爲自己的觀點受到認可非常的高興：
“ 至於基於此書的課程的考試，我建議或者採用可以看書或筆記的開卷方式，以與課本中的習題類似的題目（但宜更短，別設置不常見的圈套）來考試，或者採用回家作答的方式，以比課本的習題更難得題目進行考試。課程的題材實在太寬泛了，以致沒法強迫學生記住那些定義和定理，所以我不贊成閉卷考試，也不贊成基於書本的反芻式的壓縮所做的考試。（實際上，在我自己的考試中我總是附上一紙，列出與考題相關的關鍵性的定義和定理）使考試類似於課程所設置的家庭作業，將同時有助於啓發學生儘可能認真複習和理解他們的家庭作業中的問題（相對於使用卡片或其他此類手段來死記材料而言），這不僅對於考試，而且對於一般地做數學都是一個好的準備。
”
另外，陶哲軒不僅少年成名，在國際數學奧賽上已經斬獲銅、銀、金牌；而且成長以後，做出了在數學的多項領域研究上的前沿成就。這一點非常讓我們刮目相看。衆所周知，參加各項學科的競賽並獲得獎勵，以及被稱爲天才等等現象，能夠持之以恆並做出更大成就的人少之又少，很多人難免產生傷仲永的感慨。一直以來，我也在思考同樣的問題：究竟競賽代表着什麼能力？而研究又意味着什麼？下面一段話，我認爲很透徹：
“奧數金牌得主如何成功
陶哲軒也曾參加過國際數學奧林匹克競賽。他在1988年獲得金牌時，尚不滿13歲。中國也有不少奧數獎牌得主，卻沒有人能夠取得像陶哲軒這樣傑出的成就，有些人甚至遠離了數學。陶哲軒說，數學研究和奧數所需的環境不一樣，奧數就像是在可以預知的條件下進行短跑比賽，而數學研究則是在現實生活的不可預知條件下進行的一場馬拉松，需要更多的耐心。在中國，有學生將奧數視爲升入大學的一條捷徑。陶哲軒認爲，如果參加奧數比賽只是爲了升入一所好的大學，“這個目標太小了”。
”
看到這一段話，我不禁想起與同學的一次討論，當我們說到從數模競賽中學到什麼時，同學不禁感慨：儘管在競賽中鍛鍊了很多能力，例如速學的能力；但是另一方面也深受其害，有了浮躁的研究心態，總想短時間的把別人的成果學會實現，便不知道創新又何以在三天時間可以完成的。另一方面，也說明了高智商的人才並不意味這必將取得超越常人的研究成果，高智商人才也需要一個良好的研究習慣，陶哲軒就是其中的典範，對數學充滿興趣，樂於與別人討論交流，善於與別人合作，生活態度積極快樂。
另一方面，學科競賽有利於學科人才的培養，但是過於強調技巧性，顯然潛在的鼓勵學生走捷徑，而學科研究確實沒有捷徑可走的，有時甚至要突破原有的規則和框架，這不是做題的技巧所能包含的。回顧一下，當年奧數的獲獎者又有多少人繼續數學之路，acm競賽獲獎者也並不一定在計算機科學上獲得成就。擁有完整的人格、優良的研究習慣才能保證這些高智商人才獲得長遠的發展和與其智商相稱的成就。