電路圖A
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(A.cpp/c/pas)
【問題描述】
nodgd 要畫一個電路圖。
這是一個很簡單的電路圖，所有的元件都是串聯關係，從整體來看就是一個環狀的結構。畫電路圖有很多要求，nodgd 爲了畫得好看就又添加了一些額外的要求。所有要求歸結起來有以下幾點：
1. 這個環狀電路上有n個雙端電路元件（即每個電路元件有兩個 連接導線的接頭），其中只有一個直流電源；爲了本題方便，
其他 n − 1 個元件都是一模一樣的電阻。
2. 電流在電路圖中每經過一個元件，就必須拐一個90°的彎；沒有經過元件時不允許拐彎。參考右圖。
3. 從電路圖整體上觀察，電流沿順時針方向流動，且電路不能自交。參考下圖。 
4. 如果一個符合題意的電路圖，可以通過整體旋轉一定的角度，再適當調整圖中導線的長度，得到另外一個符合題意的電路圖，則這兩個電路圖是相同的。參考下圖。
那麼問題來了，nodgd想知道有多少種不同的電路圖，以及有多少種不同的美觀電路圖。由於兩個問題的答案都可能很大，請mod 1,000,000,007輸出結果。
【輸入格式】
輸入文件A.in。
輸入文件第一行包含一個正整數n，表示包含電源在內的電路元件的總數量。
【輸出格式】
輸出文件A.out。
輸出文件第一行包含一個整數，表示不同的電路圖數量mod 1,000,000,007的結果。
第二行包含一個整數，表示不同的美觀電路圖數量mod 1,000,000,007的結果。
【輸入輸出樣例1】
A.in
6
A.out
6
6
見分發給選手的壓縮文件中的sample\A1.in和sample\A1.ans。
【輸入輸出樣例1說明】
可以有如下幾種電路圖，電路圖數量是6，所以輸出文件第一行輸出一個整數6；
容易發現，這6個電路圖都是美觀的電路圖，所以第二行也輸出一個整數6。
【輸入輸出樣例2】
A.in
10
A.out
120
50
解題報告：
%%%JJDS nodgd
我死也不信NOIP第一題那麼難
把順時針方向看爲正方向
首先由於題目中說每兩個元件之間必須拐90度，因此電路圖可以表示爲一個長度爲n的L和R組成的序列，其中L代表一個左拐，R代表一個右拐
因爲電路圖最後要拐360度回到起點，所以L和R的數量l，r有這麼一個關係： l = r-4
接下來就成了不同排列的序列個數問題，轉換成計算n中選(n-4)/2個元素的組合數，使用公式Cmn=n!/(m!(n-m)!)
（本來可以用二分數列來O(logn)求階乘，這裏博主懶就不寫了。。。）算組合數+取模運算爲了應對有個小技巧，模除法需要轉換爲乘逆元，求逆元可以用擴展歐幾里得，這裏的p是質數嗎，也可以用logp的費馬小定理（a*a^(p-2) 同餘 1 (mod p) ，所以a^(p-2)爲a逆元，用快速冪log p求得），下面的代碼使用費馬小定理。
問題一就解決了
問題二：
因爲從內部任何一點都可以看到所有元件，所以不能有向內的矩形凸起，也就是說序列中不能有連續兩個L出現
爲了計算這個限制下的組合方案數，考慮在r個R中插入l個L
因爲這個圖轉化爲的序列是首尾相接的環，所以位置1和位置n不能同爲L，分類討論之後可以得到這個答案等於組合數之差（具體見代碼），
代碼
#include<cstdio>
typedef long long LL;
const LL MOD=1000000007;
LL advpow(LL a,LL b){
LL ret=1;
while(b){
if(b&1)ret*=a,ret%=MOD;
a*=a;
a%=MOD;
b>>=1;
}
return ret;
}
LL moddiv(LL a,LL b){
return (a*advpow(b,MOD-2))%MOD;
}
LL getC(LL a,LL b){
LL fac1=1,fac2=1;
for(int i=a+1;i<=b;i++)
fac1*=i,fac1%=MOD;
for(int i=b-a;i;i--)
fac2*=i,fac2%=MOD;
//printf("fc1:%I64d fc2:%I64d\n",fac1,fac2);
return moddiv(fac1,fac2);
}
int main(){
int n;
scanf("%d",&n);
int k=(n-4)/2;
LL p=getC((n+4)/2,n);
LL ans2=(2LL*getC(k,n-k)-getC(k,n-k-1))%MOD;
if(ans2<0)ans2+=MOD;
printf("%lld\n",p);
printf("%lld\n",ans2);
}/*15 1 1
1 1
2 1 1
3 3 1 1
4 6 4 1 1
5 10 10 5 1 1
6 15 20 15 6 1 1
7 21 35 35 21 7 1 1
8 28 56 70 56 28 8 1 1
9 36 84 126 126 84 36 9 1 1
10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 1
11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1 1
12 66 220 495 792 924 792 495 220 66 12 1 1
13 78 286 715 1287 1716 1716 1287 715 286 78 13 1 1
14 91 364 1001 2002 3003 3432 3003 2002 1001 364 91 14 1*/