【Unity】圖形相交檢測

前言

圖形相交檢測常常用在傷害判定，使用自定義的圖形相交檢測，可以在一定程度上控制性能。

比如2D格鬥遊戲中使用的矩形包圍盒（AABB），一些動作遊戲中常常出現的扇形攻擊。

2D的圖形相交檢測能夠滿足大部分的需求，且可以拓展成爲柱狀的3D物體，2D比3D的計算複雜度會低很多，3D的圖形檢測原理與2D相似，本文會實現幾個圓形與其他2D圖形的相交檢測：

    1、圓形與圓形

    2、圓形與膠囊體

    3、圓形與扇形

    4、圓形與凸多邊形

    5、圓形與AABB

    6、圓形與OBB

通過簡單化處理，把被判定物都處理成由圓柱或多個圓柱構成的區域，所以只需要考慮圓形與其他形狀的相交。

圓形與圓形

兩個圓形的相交檢測非常簡單直觀，只需要判斷半徑只和與距離的大小。

定義圓形區間：

    /// <summary>
    /// 圓形區間
    /// </summary>
    public struct CircleArea
    {
        public Vector2 o;
        public float r;
    }

o        ——圓心座標

r         ——圓半徑

相交判斷：

        /// <summary>
        /// 判斷圓形與圓形相交
        /// </summary>
        /// <param name="circleArea"></param>
        /// <param name="target"></param>
        /// <returns></returns>
        public static bool Circle(CircleArea circleArea, CircleArea target)
        {
            return (circleArea.o - target.o).sqrMagnitude < (circleArea.r + target.r) * (circleArea.r + target.r);
        }

分離軸定理

分離軸定理（separating axis theorem, SAT）分離軸定理是指，兩個不相交的凸集必然存在一個分離軸，使兩個凸集在該軸上的投影是分離的。

判斷兩個形狀是否相交，實際上是判斷分離軸是否能把兩個形狀分離。若存在分離軸能使兩個圖形分離，則這兩個圖形是分離的。

基於以上理論，尋找分離軸是我們要做的工作，重新考慮兩個圓形的相交檢測，實際上我們做的是把圓心連線的方向作爲分離軸：

上圖中兩圖形的投影在分離軸上是分離的，存在分離線將兩者隔開,於是我們可以斷定兩圖形是分離的。

膠囊體的本質

定義一個線段 u，距離 d。膠囊體實際上是與線段 u 的最短距離小於 d 的點的集合。判斷一個點 x 處於膠囊體內部，就是判斷點與線段的距離。

求點 x 與線段 u 最短距離的過程是:

    1、求出點 x 在線段 u 所在直線上的投影點 P；

    2、將投影點 P 限制在線段的範圍內（如右圖中投影點不在線段內，則限定到線段內）；

    3、x 與 P 的距離即爲所求；

    /// <summary>
    /// 線段與點的最短距離。
    /// </summary>
    /// <param name="x0">線段起點</param>
    /// <param name="u">線段向量</param>
    /// <param name="x">求解點</param>
    /// <returns></returns>
    public static float SqrDistanceBetweenSegmentAndPoint(Vector2 x0, Vector2 u, Vector2 x)
    {
        float t = Vector2.Dot(x - x0, u) / u.sqrMagnitude;
        return (x - (x0 + Mathf.Clamp01(t) * u)).sqrMagnitude;
    }

爲避免開方計算，結果使用距離的平方。

圓形與膠囊體

分離軸是線段上距離圓心最近的點P與圓心所在方向。

定義膠囊體：

    /// <summary>
    /// 膠囊體
    /// </summary>
    public struct CapsuleArea
    {
        public Vector2 X0;
        public Vector2 U;
        public float d;
    }

相交判斷：

        /// <summary>
        /// 判斷膠囊體與圓形相交
        /// </summary>
        /// <param name="capsuleArea"></param>
        /// <param name="circleArea"></param>
        /// <returns></returns>
        public static bool Capsule(CapsuleArea capsuleArea, CircleArea circleArea)
        {
            float sqrD = SegmentPointSqrDistance(capsuleArea.X0, capsuleArea.U, circleArea.o);
            return sqrD < (circleArea.r + capsuleArea.d) * (circleArea.r + capsuleArea.d);
        }

圓形與扇形

當扇形角度大於180度時，就不再是凸多邊形了，不能適用於分離軸理論。我們可以找出相交時圓心的所有可能區域，並把區域劃分成可以簡單驗證的幾個區域，逐個試驗。

這裏共劃分了2個區間

    1、半徑爲兩者半徑和的扇形區間，角度方向同扇形。驗證方法是；驗證距離與夾角。

    2、扇形邊爲軸，圓形半徑爲大小組成的膠囊體空間，由於扇形的對稱性，我們可以通過把圓心映射到一側，從而只需要計算1條邊。

定義扇形：

    /// <summary>
    /// 扇形區間。
    /// </summary>
    public struct SectorArea
    {
        public Vector2 o;
        public float r;
        public Vector2 direction;
        public float angle;
    }

相交檢測：

        /// <summary>
        /// 判斷圓形與扇形相交。
        /// </summary>
        /// <param name="sectorArea"></param>
        /// <param name="target"></param>
        /// <returns></returns>
        public static bool Sector(SectorArea sectorArea, CircleArea target)
        {
            Vector2 tempDistance = target.o - sectorArea.o;
            float halfAngle = Mathf.Deg2Rad * sectorArea.angle / 2;
            if (tempDistance.sqrMagnitude < (sectorArea.r + target.r) * (sectorArea.r + target.r))
            {
                if (Vector3.Angle(tempDistance, sectorArea.direction) < sectorArea.angle / 2)
                {
                    return true;
                }
                else
                {
                    Vector2 targetInSectorAxis = new Vector2(Vector2.Dot(tempDistance,
                        sectorArea.direction), Mathf.Abs(Vector2.Dot(tempDistance, new Vector2(-sectorArea.direction.y, sectorArea.direction.x))));
                    Vector2 directionInSectorAxis = sectorArea.r * new Vector2(Mathf.Cos(halfAngle), Mathf.Sin(halfAngle));
                    return SegmentPointSqrDistance(Vector2.zero, directionInSectorAxis, targetInSectorAxis) <= target.r * target.r;
                }
            }
            return false;
        }

圓形與凸多邊形

定義多邊形：

    /// <summary>
    /// 多邊形區域。
    /// </summary>
    public struct PolygonArea
    {
        public Vector2[] vertexes;
    }

相交檢測：

        /// <summary>
        /// 判斷多邊形與圓形相交
        /// </summary>
        /// <param name="polygonArea"></param>
        /// <param name="target"></param>
        /// <returns></returns>
        public static bool PolygonS(PolygonArea polygonArea, CircleArea target)
        {
            if (polygonArea.vertexes.Length < 3)
            {
                Debug.Log("多邊形邊數小於3.");
                return false;
            }
            #region 定義臨時變量
            //圓心
            Vector2 circleCenter = target.o;
            //半徑的平方
            float sqrR = target.r * target.r;
            //多邊形頂點
            Vector2[] polygonVertexes = polygonArea.vertexes;
            //圓心指向頂點的向量數組
            Vector2[] directionBetweenCenterAndVertexes = new Vector2[polygonArea.vertexes.Length];
            //多邊形的邊
            Vector2[] polygonEdges = new Vector2[polygonArea.vertexes.Length];
            for (int i = 0; i < polygonArea.vertexes.Length; i++)
            {
                directionBetweenCenterAndVertexes[i] = polygonVertexes[i] - circleCenter;
                polygonEdges[i] = polygonVertexes[i] - polygonVertexes[(i + 1)% polygonArea.vertexes.Length];
            }
            #endregion

            #region 以下爲圓心處於多邊形內的判斷。
            //總夾角
            float totalAngle = Vector2.SignedAngle(directionBetweenCenterAndVertexes[polygonVertexes.Length - 1], directionBetweenCenterAndVertexes[0]);
            for (int i = 0; i < polygonVertexes.Length - 1; i++)
                totalAngle += Vector2.SignedAngle(directionBetweenCenterAndVertexes[i], directionBetweenCenterAndVertexes[i + 1]);
            if (Mathf.Abs(Mathf.Abs(totalAngle) - 360f) < 0.1f)
                return true;
            #endregion
            #region 以下爲多邊形的邊與圓形相交的判斷。
            for (int i = 0; i < polygonEdges.Length; i++)
                if (SegmentPointSqrDistance(polygonVertexes[i], polygonEdges[i], circleCenter) < sqrR)
                    return true;
            #endregion
            return false;
        }

圓形與AABB

定義AABB：

    /// <summary>
    /// AABB區域
    /// </summary>
    public struct AABBArea
    {
        public Vector2 center;
        public Vector2 extents;
    }

AABB是凸多邊形的特例，是長寬邊分別與X/Y軸平行的矩形，這裏我們要充分的利用他的對稱性。

1 利用對稱性將目標圓心映射到，以AABB中心爲原點、兩邊爲座標軸的座標系，的第一象限

2 將目標圓心映射到，以AABB第一象限角點爲原點、兩邊爲座標軸的座標系，的第一象限

3 最後只需要判斷圓形半徑與步驟2中映射點的向量大小

相交檢測：

        /// <summary>
        /// 判斷AABB與圓形相交
        /// </summary>
        /// <param name="aABBArea"></param>
        /// <param name="target"></param>
        /// <returns></returns>
        public static bool AABB(AABBArea aABBArea, CircleArea target)
        {
            Vector2 v = Vector2.Max(aABBArea.center - target.o, -(aABBArea.center - target.o));
            Vector2 u = Vector2.Max(v - aABBArea.extents,Vector2.zero);
            return u.sqrMagnitude < target.r * target.r;
        }

圓形與OBB

定義OBB：

    /// <summary>
    /// OBB區域
    /// </summary>
    public struct OBBArea
    {
        public Vector2 center;
        public Vector2 extents;
        public float angle;
    }

OBB相對於AABB，矩形邊不與座標軸重合，對於它和圓形的相交檢測只需要把圓形旋轉到OBB邊所在座標系中，剩下的步驟與AABB的相同。

相交檢測：

        /// <summary>
        /// 判斷OBB與圓形相交
        /// </summary>
        /// <param name="oBBArea"></param>
        /// <param name="target"></param>
        /// <returns></returns>
        public static bool OBB(OBBArea oBBArea, CircleArea target)
        {
            Vector2 p = oBBArea.center - target.o;
            p = Quaternion.AngleAxis(-oBBArea.angle, Vector3.forward) * p;
            Vector2 v = Vector2.Max(p, -p);
            Vector2 u = Vector2.Max(v - oBBArea.extents, Vector2.zero);
            return u.sqrMagnitude < target.r * target.r;
        }