最長公共子序列的另一類優化方法

    最長公共子序列（LCS）是一個很經典的問題。  給2個字符串s1,s2,求LCS(s1,s2). 用d[i][j]]表示s1[1-i]和是s2[1-j]的LCS. 

if(s1[i]==s2[j]) d[i][j]=d[i-1][j-1]+1 

else  d[i][j]=max(d[i-1][j],d[I][j-1]).

這是一個1D/1D的動態規劃問題，複查度爲O(n*n)。 考慮如下特殊的LCS問題.求2個全排列p1,p2的LCS。

這個問題的特殊性在於，每個數只出現一次。我們觀察轉移方程，只有在是p1[i]==p2[j] 的時候纔會出現+1的轉移。那麼其實有

我們用pari[i]表示s1[i]在s2[i]中出現的位置。 可以得出d[i][pari[i]]=max{d[l'][j']}+1 .i>l;.pari[i]>j'。這樣可以用一個數據結構在維護，複雜度可以降低到nlogn級別

例1：

uva10635 

#include <set>
#include <map>
#include <queue>
#include <stack>
#include <cmath>
#include <string>
#include <cctype>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <iomanip>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int inf  = 0x3fffffff;
const int mmax = 250*250+10;
map<int,int>q;
int p1[mmax],p2[mmax];
int pos[mmax];
int C[mmax];
int n;
int low_bit(int x)
{
    return x&(-x);
}
void update(int pos,int val)
{
    for(int i=pos;i<=n;i+=low_bit(i))
        C[i]=max(C[i],val);
}
int get_max(int x)
{
    int ans=0;
    for(int i=x;i>0;i-=low_bit(i))
        ans=max(ans,C[i]);
    return ans;
}
int main()
{
    int t,ca=0;
    cin>>t;
    while(t--)
    {
        int d,l1,l2;
        q.clear();
        scanf("%d %d %d",&d,&l1,&l2);
        l1++,l2++;
        for(int i=1;i<=l1;i++)
            scanf("%d",&p1[i]);
        for(int i=1;i<=l2;i++)
        {
            scanf("%d",&p2[i]);
            q[p2[i]]=i;
        }
        memset(C,0,sizeof C);
        n=l2;
        int ans=0;
        for(int i=1;i<=l1;i++)
        {
            if(!q.count(p1[i]))
                continue;
            int y=q[p1[i]];
            int tmp=get_max(y)+1;
            ans=max(ans,tmp);
            update(y,tmp);
        }
        printf("Case %d: %d\n",++ca,ans);
    }
    return 0;
}

這題還有一種特別的解法,用映射的手段，吧s1的映射成，1,2,3,4.。。。n,求s2 的最長上升序列。用n*logn的算法

#include <set>
#include <map>
#include <queue>
#include <stack>
#include <cmath>
#include <string>
#include <cctype>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <iomanip>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int inf  = 0x3fffffff;
const int mmax = 250*250+10;
int p1[mmax],p2[mmax];
int dp[mmax];
map<int,int>q;
int main()
{
    int t,ca=0;
    cin>>t;
    while(t--)
    {
        int d,l1,l2;
        q.clear();
        scanf("%d %d %d",&d,&l1,&l2);
        l1++,l2++;
        for(int i=1;i<=l1;i++)
        {
            scanf("%d",&p1[i]);
            q[p1[i]]=i;
        }
        for(int i=1;i<=l2;i++)
        {
            int x;
            scanf("%d",&x);
            if(!q.count(x))
                p2[i]=0;
            else
                p2[i]=q[x];
        }
        int len=1;
        dp[1]=p2[1];
        for(int i=2;i<=l2;i++)
        {
            int l=1,r=len+1;
            int mid=(l+1)>>1;
            while(l<r)
            {
                mid=(l+r)>>1;
                if(dp[mid]<p2[i])
                    l=mid+1;
                else
                    r=mid;
            }
            dp[r]=p2[i];
            if(r==len+1)
                len++;
        }
        printf("Case %d: %d\n",++ca,len);
    }
    return 0;
}

例題2 

解法自行YY，給出AC代碼

#include <set>
#include <map>
#include <queue>
#include <stack>
#include <cmath>
#include <string>
#include <cctype>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <iomanip>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int inf  = 0x3fffffff;
const int mmax =100010;
map<int,int>q;
int p1[mmax],p2[mmax];
int next[mmax];
int C[mmax];
int n;
int low_bit(int x)
{
    return x&(-x);
}
void update(int pos,int val)
{
    for(int i=pos;i<=n;i+=low_bit(i))
        C[i]=max(C[i],val);
}
int get_max(int x)
{
    int ans=0;
    for(int i=x;i>0;i-=low_bit(i))
        ans=max(ans,C[i]);
    return ans;
}
int main()
{
    while(cin>>n)
    {
        n*=5;
        q.clear();
        for(int i=1;i<=n;i++)
            scanf("%d",&p1[i]);
        memset(next,-1,sizeof next);
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            scanf("%d",&p2[i]);
            if(!q.count(p2[i]))
                q[p2[i]]=i;
            else
            {
                next[i]=q[p2[i]];
                q[p2[i]]=i;
            }
        }
        memset(C,0,sizeof C);
        int ans=0;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            if(!q.count(p1[i]))
                continue;
            int y=q[p1[i]];
            while(y+1)
            {
                int tmp=get_max(y-1)+1;
                ans=max(ans,tmp);
                update(y,tmp);
                y=next[y];
            }
        }
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}