動態規劃初步1（LRJ紫書）

最近重新開始看DP啦。數塔問題是第一次學DP的時候的第一道題。很經典。
數塔問題。
https://vjudge.net/problem/HDU-2084
從第一行的數開始，每一次可以選擇往左下方走或者右下方走。直到走到最後一行。並且求出到最後一行的家和最大值爲多少？
動態規劃的核心是狀態以及狀態轉移。
對於這個題目來說，我們可以把問題描述成在(i,j)處的加和最大值記爲dp[i][j]。
並且我們知道，當前的最大和就等於左下方的最大和加上a[i][j]和右下方的最大和加上a[i][j]之中大的那個。
狀態轉移方程就可以寫成：dp[i][j]=max(dp[i+1][j],dp[i+1][j+1])+a[i][j];。
對於每一次我們都可以得到當前的最大值可以稱爲最優子結構性質，全局最優解包含局部最優解。

記憶化搜索與遞推。
已經得出了狀態轉移方程，我們很容易就想到了遞歸。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
int a[105][105];
int n;//層數
int solve(int i,int j){
    if(i==n) return a[i][j];
    else return a[i][j]+max(solve(i+1,j),solve(i+1,j+1));
}
int main(){
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=i;j++){
            cin>>a[i][j];
        }
    }
    cout<<solve(1,1)<<endl;
}

然後就發現遞歸非常非常的慢。對於每一個節點都有兩種選擇。還都很多節點進行了重複的計算，所以我們想到了記憶化搜索。對於已經計算過的節點，我們想把她們存起來，下一次在計算的時候直接拿出來用就可以了。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
int a[105][105];
int dp[105][105];
int n;//層數
int solve(int i,int j){
    if(dp[i][j]>=0) return dp[i][j];
    if(i==n) return dp[i][j]=a[i][j];
    else return a[i][j]+max(solve(i+1,j),solve(i+1,j+1));
}
int main(){
    cin>>n;
    memset(dp,-1,sizeof(dp));
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=i;j++){
            cin>>a[i][j];
        }
    }
    cout<<solve(1,1)<<endl;
}

但是這樣的效率還是非常的低的。於是我們想到了遞推不要遞歸。
HDU 2084 AC代碼

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
int a[105][105];
int dp[105][105];
int n;//層數
void solve(){
    for(int i=1;i<=n;i++){
        dp[n][i]=a[n][i];
    }
    for(int i=n-1;i>0;i--){
        for(int j=1;j<=i;j++){
            dp[i][j]=a[i][j]+max(dp[i+1][j],dp[i+1][j+1]);
        }
    }

}
int main(){
    int T;
    cin>>T;
    while(T--){
        cin>>n;
        memset(dp,-1,sizeof(dp));
        for(int i=1;i<=n;i++){
            for(int j=1;j<=i;j++){
                cin>>a[i][j];
            }
        }
        solve();
        cout<<dp[1][1]<<endl;
    }
    return 0;
}