动态规划初步1（LRJ紫书）

最近重新开始看DP啦。数塔问题是第一次学DP的时候的第一道题。很经典。
数塔问题。
https://vjudge.net/problem/HDU-2084
从第一行的数开始，每一次可以选择往左下方走或者右下方走。直到走到最后一行。并且求出到最后一行的家和最大值为多少？
动态规划的核心是状态以及状态转移。
对于这个题目来说，我们可以把问题描述成在(i,j)处的加和最大值记为dp[i][j]。
并且我们知道，当前的最大和就等于左下方的最大和加上a[i][j]和右下方的最大和加上a[i][j]之中大的那个。
状态转移方程就可以写成：dp[i][j]=max(dp[i+1][j],dp[i+1][j+1])+a[i][j];。
对于每一次我们都可以得到当前的最大值可以称为最优子结构性质，全局最优解包含局部最优解。

记忆化搜索与递推。
已经得出了状态转移方程，我们很容易就想到了递归。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
int a[105][105];
int n;//层数
int solve(int i,int j){
    if(i==n) return a[i][j];
    else return a[i][j]+max(solve(i+1,j),solve(i+1,j+1));
}
int main(){
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=i;j++){
            cin>>a[i][j];
        }
    }
    cout<<solve(1,1)<<endl;
}

然后就发现递归非常非常的慢。对于每一个节点都有两种选择。还都很多节点进行了重复的计算，所以我们想到了记忆化搜索。对于已经计算过的节点，我们想把她们存起来，下一次在计算的时候直接拿出来用就可以了。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
int a[105][105];
int dp[105][105];
int n;//层数
int solve(int i,int j){
    if(dp[i][j]>=0) return dp[i][j];
    if(i==n) return dp[i][j]=a[i][j];
    else return a[i][j]+max(solve(i+1,j),solve(i+1,j+1));
}
int main(){
    cin>>n;
    memset(dp,-1,sizeof(dp));
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=i;j++){
            cin>>a[i][j];
        }
    }
    cout<<solve(1,1)<<endl;
}

但是这样的效率还是非常的低的。于是我们想到了递推不要递归。
HDU 2084 AC代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
int a[105][105];
int dp[105][105];
int n;//层数
void solve(){
    for(int i=1;i<=n;i++){
        dp[n][i]=a[n][i];
    }
    for(int i=n-1;i>0;i--){
        for(int j=1;j<=i;j++){
            dp[i][j]=a[i][j]+max(dp[i+1][j],dp[i+1][j+1]);
        }
    }

}
int main(){
    int T;
    cin>>T;
    while(T--){
        cin>>n;
        memset(dp,-1,sizeof(dp));
        for(int i=1;i<=n;i++){
            for(int j=1;j<=i;j++){
                cin>>a[i][j];
            }
        }
        solve();
        cout<<dp[1][1]<<endl;
    }
    return 0;
}