窗函數在圖像處理中的應用

上次我初略的講了一下什麼是窗函數，以及窗函數在DSP應用中的例子。之所以要引用窗函數，主要是爲了防止突然的截斷導致的頻譜泄露。頻譜的泄露在DIP的頻域中也是非常常見的，我這裏舉三個例子來說明。如果還不瞭解窗函數的同學請看我寫的這篇文章：https://blog.csdn.net/daduzimama/article/details/80050523

例1, 頻譜混亂的三角函數圖像

下圖是一個45度傾斜的單一頻率的餘弦函數圖像，請注意圖中的邊界都不是均勻過渡到外界的，全是不連續的跳變。

下面我們來看看這幅圖的頻譜會是什麼樣呢？（下圖）哇，怎麼會這麼亂呢。。。完全無法通過這個頻譜圖去理解一個具有單一頻率的原始信號。

頻譜混亂的原因

究其原因有兩個：

第一個重要的原因我在上一篇講過了，就是一個域（不論是時域還是頻域）的不連續導致了另一個域的振盪，拖尾，泄漏。所以下圖中的頻譜就會看起來非常的混亂。

第二個原因就是DFT的週期性。當我們在使用MATLAB中的函數FFT或FFT2的時候，我們一定要意識到，我們所做的計算本質上離散傅里葉級數（爲什麼是級數而不是變換，我會再寫一篇文章說明）Discrete Fourier transform（DFT）。要知道，DFT的計算隱含着默認的週期性，這一週期性不論是在時域還是在頻域都是無窮的，都是無限循環的，從二維信號上講，即沿着X方向循環複製，也在Y方向循環複製。下圖中用紅色方框框出的只是其中的一個週期。

請注意上圖中左圖中（空間域）餘弦信號圖和他相鄰的圖像在紅色邊緣處的各種不連續（discontinuity）。這種不連續直接導致了右圖中（頻率域）及其混亂，複雜的頻譜。所以，在處理任何圖像時，千萬不要忽視了圖像的邊緣。比如說，FFT之前的0填充，這也是一種會經常用到的避免頻譜泄漏的有效方式。

漢寧窗

現在我們對原始圖像進行加窗，這裏我們選擇的是漢寧窗（hanning window）。下圖爲漢寧窗的時間域函數圖像及其頻譜特徵。

窗函數的參數介紹以及窗函數的選擇我自己涉及的不多，但是我推薦有興趣的讀者看看知乎上的這篇文章：

https://zhuanlan.zhihu.com/p/24318554

總的來說，窗函數都比較光滑，就好像一個高斯滑動均值濾波器磨平了原始信號中邊緣的不連續。

上圖來自維基百科。

請注意上圖中我用紅框框出的幾個重要參數，這是衡量窗函數的三個重要指標。

對圖像加窗

加窗後的頻譜圖遠比加窗前的更集中，更清晰。

例2, 著名的Cameraman.tiff

剛纔的那個例子中，空間域的不連續是非常明顯，顯而易見的（TIPS：一個域的不連續導致了另外一個域的頻振盪和拖尾，不只是從空間域/時間域到頻域是這樣，VICE VERSA。）。下面我們在用圖像處理中的經典圖像，攝影師，來看另外一種情況。在這個例子中，邊界上的跳變遠沒有上一個例子那麼明顯，但也會引起頻譜的泄露，污染了（smear）真實的頻譜信息，而這種情況最爲常見，最容易被忽視。

下圖爲cameraman的原圖和頻譜圖，注意頻譜圖中我用箭頭標出的一條白色的中軸線，也是頻譜的泄漏造成的。