窗函数在图像处理中的应用

上次我初略的讲了一下什么是窗函数，以及窗函数在DSP应用中的例子。之所以要引用窗函数，主要是为了防止突然的截断导致的频谱泄露。频谱的泄露在DIP的频域中也是非常常见的，我这里举三个例子来说明。如果还不了解窗函数的同学请看我写的这篇文章：https://blog.csdn.net/daduzimama/article/details/80050523

例1, 频谱混乱的三角函数图像

下图是一个45度倾斜的单一频率的余弦函数图像，请注意图中的边界都不是均匀过渡到外界的，全是不连续的跳变。

下面我们来看看这幅图的频谱会是什么样呢？（下图）哇，怎么会这么乱呢。。。完全无法通过这个频谱图去理解一个具有单一频率的原始信号。

频谱混乱的原因

究其原因有两个：

第一个重要的原因我在上一篇讲过了，就是一个域（不论是时域还是频域）的不连续导致了另一个域的振荡，拖尾，泄漏。所以下图中的频谱就会看起来非常的混乱。

第二个原因就是DFT的周期性。当我们在使用MATLAB中的函数FFT或FFT2的时候，我们一定要意识到，我们所做的计算本质上离散傅里叶级数（为什么是级数而不是变换，我会再写一篇文章说明）Discrete Fourier transform（DFT）。要知道，DFT的计算隐含着默认的周期性，这一周期性不论是在时域还是在频域都是无穷的，都是无限循环的，从二维信号上讲，即沿着X方向循环复制，也在Y方向循环复制。下图中用红色方框框出的只是其中的一个周期。

请注意上图中左图中（空间域）余弦信号图和他相邻的图像在红色边缘处的各种不连续（discontinuity）。这种不连续直接导致了右图中（频率域）及其混乱，复杂的频谱。所以，在处理任何图像时，千万不要忽视了图像的边缘。比如说，FFT之前的0填充，这也是一种会经常用到的避免频谱泄漏的有效方式。

汉宁窗

现在我们对原始图像进行加窗，这里我们选择的是汉宁窗（hanning window）。下图为汉宁窗的时间域函数图像及其频谱特征。

窗函数的参数介绍以及窗函数的选择我自己涉及的不多，但是我推荐有兴趣的读者看看知乎上的这篇文章：

https://zhuanlan.zhihu.com/p/24318554

总的来说，窗函数都比较光滑，就好像一个高斯滑动均值滤波器磨平了原始信号中边缘的不连续。

上图来自维基百科。

请注意上图中我用红框框出的几个重要参数，这是衡量窗函数的三个重要指标。

对图像加窗

加窗后的频谱图远比加窗前的更集中，更清晰。

例2, 著名的Cameraman.tiff

刚才的那个例子中，空间域的不连续是非常明显，显而易见的（TIPS：一个域的不连续导致了另外一个域的频振荡和拖尾，不只是从空间域/时间域到频域是这样，VICE VERSA。）。下面我们在用图像处理中的经典图像，摄影师，来看另外一种情况。在这个例子中，边界上的跳变远没有上一个例子那么明显，但也会引起频谱的泄露，污染了（smear）真实的频谱信息，而这种情况最为常见，最容易被忽视。

下图为cameraman的原图和频谱图，注意频谱图中我用箭头标出的一条白色的中轴线，也是频谱的泄漏造成的。