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計算幾何頭疼的地方一般在於代碼量大和精度問題，代碼量問題只要平時注意積累模板一般就不成問題了。精度問題則不好說，有時候一個精度問題就可能成爲一道題的瓶頸，簡直“畫龍點睛”。這些年的題目基本是朝着越來越不卡精度的方向發展了，但是也不乏一些%^&%題#$%$^，另外有些常識不管題目卡不卡，都是應該知道的。今天我就開膛回顧下見過且還有印象的精度問題，由於本人見識和記憶均有限，望各位大神瞄過後不吝補充。另外，爲了彌補我匱乏的文思，我可能亂扯些不太相關或者盡人皆知的東西湊數。那麼，現在開始。
計算幾何的精度問題說到底其實是浮點數的精度問題，但我覺得“計算幾何”比“浮點數”更能吸引眼球，所以選了這個標題。
1.浮點數爲啥會有精度問題：
浮點數(以C/C++爲準)，一般用的較多的是float, double。
佔字節數
數值範圍
十進制精度位數
float
4
-3.4e-38～3.4e38
6~7
double
8
-1.7e-308～1.7e308
14~15
如果內存不是很緊張或者精度要求不是很低，一般選用double。14位的精度(是有效數字位，不是小數點後的位數)通常夠用了。注意，問題來了，數據精度位數達到了14位，但有些浮點運算的結果精度並達不到這麼高，可能準確的結果只有10~12位左右。那低幾位呢？自然就是不可預料的數字了。這給我們帶來這樣的問題：即使是理論上相同的值，由於是經過不同的運算過程得到的，他們在低幾位有可能(一般來說都是)是不同的。這種現象看似沒太大的影響，卻會一種運算產生致命的影響: ==。恩，就是判斷相等。注意，C/C++中浮點數的==需要完全一樣才能返回true。來看下面這個例子:
#include<stdio.h>
#include<math.h>
int main()
{
double a = asin(sqrt(2.0) / 2) * 4.0;
double b = acos(-1.0);
printf(" a = %.20lf\n", a);
printf(" b = %.20lf\n", b);
printf(" a - b = %.20lf\n", a - b);
printf("a == b = %d\n", a == b);
return 0;
}
輸出：
a = 3.14159265358979360000
b = 3.14159265358979310000
a - b = 0.00000000000000044409
a == b = 0
我們解決的辦法是引進eps，來輔助判斷浮點數的相等。
2. eps
eps縮寫自epsilon，表示一個小量，但這個小量又要確保遠大於浮點運算結果的不確定量。eps最常見的取值是1e-8左右。引入eps後，我們判斷兩浮點數a、b相等的方式如下:
定義三出口函數如下: int sgn(double a){return a < -eps ? -1 : a < eps ? 0 : 1;}
則各種判斷大小的運算都應做如下修正:
傳統意義
修正寫法1
修正寫法2
a == b
sgn(a - b) == 0
fabs(a – b) < eps
a != b
sgn(a - b) != 0
fabs(a – b) > eps
a < b
sgn(a - b) < 0
a – b < -eps
a <= b
sgn(a - b) <= 0
a – b < eps
a > b
sgn(a - b) > 0
a – b > eps
a >= b
sgn(a - b) >= 0
a – b > -eps
這樣，我們才能把相差非常近的浮點數判爲相等;同時把確實相差較大(差值大於eps)的數判爲不相等。
PS: 養成好習慣，儘量不要再對浮點數做==判斷。例如，我的修正寫法2裏就沒有出現==。
3. eps帶來的函數越界
如果sqrt(a), asin(a), acos(a) 中的a是你自己算出來並傳進來的，那就得小心了。
如果a本來應該是0的，由於浮點誤差，可能實際是一個絕對值很小的負數(比如1e-12),這樣sqrt(a)應得0的，直接因a不在定義域而出錯。
類似地，如果a本來應該是±1,則asin(a)、acos(a)也有可能出錯。
因此，對於此種函數，必需事先對a進行校正。
4. 輸出陷阱I
這一節和下一節一樣，都是因爲題目要求輸出浮點數，導致的問題。而且都和四捨五入有關。
說到四捨五入，就再扯一下相關內容,據我所知有三種常見的方法:
1. printf(“%.3lf”, a); //保留a的三位小數，按照第四位四捨五入
2. (int)a; //將a靠進0取整
3. ceil(a); floor(a); //顧名思義，向上取證、向下取整。需要注意的是，這兩個函數都返回double，而非int
其中第一種很常見於輸出(nonsense…)。
現在考慮一種情況,題目要求輸出保留兩位小數。有個case的正確答案的精確值是0.005,按理應該輸出0.01,但你的結果可能是0.005000000001(恭喜)，也有可能是0.004999999999(悲劇),如果按照printf(“%.2lf”, a)輸出，那你的遭遇將和括號裏的字相同。
解決辦法是，如果a爲正，則輸出a+eps, 否則輸出a-eps
典型案例: POJ2826
5. 輸出陷阱II
ICPC題目輸出有個不成文的規定(有時也成文)，不要輸出: -0.000
那我們首先要弄清，什麼時候按printf(“%.3lf\n”, a)輸出會出現這個結果。
直接給出結果好了：a∈(-0.000499999……, -0.000……1)
所以，如果你發現a落在這個範圍內，請直接輸出0.000。更保險的做法是用sprintf直接判斷輸出結果是不是-0.000再予處理。
典型案例:UVA746
6. 範圍越界
這個嚴格來說不屬於精度範疇了，不過湊數還是可以的。請注意，雖然double可以表示的數的範圍很大，卻不是不窮大，上面說過最大是1e308。所以有些時候你得小心了，比如做連乘的時候，必要的時候要換成對數的和。
典型案例:HDU3558
7. 關於set<T>
有時候我們可能會有這種需求，對浮點數進行 插入、查詢是否插入過 的操作。手寫hash表是一個方法(hash函數一樣要小心設計)，但set不是更方便嗎。但set好像是按==來判重的呀？貌似行不通呢。經觀察,set不是通過==來判斷相等的，是通過<來進行的，具體說來，只要a<b 和 b<a 都不成立，就認爲a和b相等，可以發現，
如果將小於定義成: bool operator < (const Dat dat)const{return val < dat.val - eps;}就可以解決問題了。 (基本類型不能重載運算符，所以封裝了下)
8. 輸入值波動過大
這種情況不常見，不過可以幫助你更熟悉eps。假如一道題輸入說，給一個浮點數a, 1e-20 < a < 1e20。那你還敢用1e-8做eps麼？合理的做法是把eps按照輸入規模縮放到合適大小。
典型案例: HUSTOJ 1361
9. 一些建議
容易產生較大浮點誤差的函數有asin、 acos。歡迎儘量使用atan2。
另外，如果數據明確說明是整數，而且範圍不大的話，使用int或者long long代替double都是極佳選擇，因爲就不存在浮點誤差了(儘管我幾乎從來都只用double --!)
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