從B樣條的插值點反求控制點

三次週期B樣條曲線的算法

 0 £ u<1和四個控制點p0,p1,p2和p3.

 設P(u)是一個三次週期B樣條,滿足條件:

 P(0) = (p0 + 4p1 + p2)/6,

 P(1) = (p1 + 4p2 + p3)/6,

 P¢(0) = (p2 – p0)/2,

 P¢(1) = (p3 – p1)/2.

 

 假設P(u) = (u3  u2  u  1)MB(p0  p1  p2  p3)T，MB是變換矩陣。

 那麼，P¢(u) = (3u2  2u  1  0)MB(p0  p1  p2  p3)T

 把u = 0，1分別代入上式，並利用前面的條件，得到

 

 P(u) = p0(1-u)3/6 + p1(3u3-6u2+4)/6+ p2(-3u3+3u2+3u+1)/6 +p3u3/6

    = p0B0,3(u) + p1B1,3(u) + p2B2,3(u) + p3B3,3(u)

三次B樣條的性質

 

• C2連續性

 記 Pk(u)爲對應於控制點pk, pk+1,pk+2 和pk+3 .

 Pk(1) = (pk + 4pk+1 + pk+2)/6 = Pk+1(0) ，這是連續性

 Pk¢(1) = ½ (pk+3 – pk+1) = Pk+1¢(0)，這是C1連續性

 Pk¢¢(1) = pk+1 -2pk+2 +pk+3 = Pk+1¢¢(0)，這是C2連續性

• 局部性：改變一個控制點最多改變四個曲線段.

 局部性：改變一個控制點最多改變四個曲線段.

• 擴展性：增加一個控制點,只增加一個曲線段.

• 當B樣條的節點是p0,p1,…,pn時，增加節點p-1和pn+1,使得 p-1p0 = p0p1和pn-1pn=pnpn+1

 即p-1 + p1 = 2p0 和 pn-1 + pn+1 = 2pn。那麼B樣條以p0 爲起點且切於p0p1，以pn 爲終點且切於pn-1pn

 事實上，增加了P-1(u)和Pn-2(u).

 P0(0) = P-1(1) = (p-1+4p0+p1)/6 = p0,

 P0¢(0) = P-1¢(1) = ½ (p1 – p-1) = (p1 – p0)

 設P(u)是一個三次週期B樣條,滿足條件:

 P(0) = (p0 + 4p1 + p2)/6,

 P(1) = (p1 + 4p2 + p3)/6,

 P¢(0) = (p2 – p0)/2,

 P¢(1) = (p3 – p1)/2.

 

 假設P(u) = (u3  u2  u  1)MB(p0  p1  p2  p3)T，MB是變換矩陣。

 那麼，P¢(u) = (3u2  2u  1  0)MB(p0  p1  p2  p3)T

 把u = 0，1分別代入上式，並利用前面的條件，得到

 

 P(u) = p0(1-u)3/6 + p1(3u3-6u2+4)/6+ p2(-3u3+3u2+3u+1)/6 +p3u3/6

    = p0B0,3(u) + p1B1,3(u) + p2B2,3(u) + p3B3,3(u)

三次B樣條的性質

 

• C2連續性

 記 Pk(u)爲對應於控制點pk, pk+1,pk+2 和pk+3 .

 Pk(1) = (pk + 4pk+1 + pk+2)/6 = Pk+1(0) ，這是連續性

 Pk¢(1) = ½ (pk+3 – pk+1) = Pk+1¢(0)，這是C1連續性

 Pk¢¢(1) = pk+1 -2pk+2 +pk+3 = Pk+1¢¢(0)，這是C2連續性

• 局部性：改變一個控制點最多改變四個曲線段.

 局部性：改變一個控制點最多改變四個曲線段.

• 擴展性：增加一個控制點,只增加一個曲線段.

• 當B樣條的節點是p0,p1,…,pn時，增加節點p-1和pn+1,使得 p-1p0 = p0p1和pn-1pn=pnpn+1

 即p-1 + p1 = 2p0 和 pn-1 + pn+1 = 2pn。那麼B樣條以p0 爲起點且切於p0p1，以pn 爲終點且切於pn-1pn

 事實上，增加了P-1(u)和Pn-2(u).

 P0(0) = P-1(1) = (p-1+4p0+p1)/6 = p0,

 P0¢(0) = P-1¢(1) = ½ (p1 – p-1) = (p1 – p0)

從B樣條的插值點反求控制點

以三次週期B樣條P(u)爲例，每段三次B樣條需要四個控制點，該樣條的首尾兩點均不是控制點。設有N個插值點{Qj:j=1,2,…,N}和N+2個控制點{pj: j=0,1,…,N+1}。三次B樣條一般不經過控制點。第j段的三次週期B樣條Pj(u)滿足：

 Pj(0) = (pj-1 + 4pj + pj+1)/6 = Qj, j=1,2,…,N.

對於點的每個座標來說，共有N個方程，但是有N+2個未知數。需要補充兩個邊界條件。

（1）末兩點經過Q1和QN的非週期三次B樣條曲線。

p0 = Q1, pN+1 = QN.

（2）封閉的週期三次B樣條曲線。 P0=PN， P1=PN+1。

（3）端點有二重控制點P0=P1和PN+1=PN的三次B樣條曲線