以0-1揹包爲例對動態規劃的思考

關於動態規劃，其實就是找出相關的函數（F(n)與F(n-1),F(n-2)等等）（F(i,j)到F(i-1,j)或F(i,j-1)或F(i-1,j-1)等等）的遞推公式，然後從小到大即自底向上的進行動態規劃，在前面各項的基礎上找出想要的答案
除了這種自底向上的動態規劃外，還有遞歸的自頂向下的遞歸式動態規劃，
比如0-1揹包問題：
F(i,j)=max{F(i-1,j),F(i-1,j-w(i))+v(i)}
F(i,j)的含義是：將第i件物品到第1件物品放在容納質量爲j的袋子中可得的最大價值
（即不將第i件物品放在袋子中，可以容納的重量是j）與（將第i件物品放在袋子裏面）的價值進行比較，找出可以放的最大價值
結束條件是：如果i==0(即最後一件物品) , 那麼將這件物品放在可容納質量爲j的袋子裏價值爲，如果j>=w(i)則價值爲v(i),否則價值爲0；
注意如果j小於w(i)，那麼只能選擇不放，即F(i-1,j)
1、自頂向下遞歸代碼：

int n;
int[] values = new int[n];
int[] weights = new int[n];
int volume;
public int maxValue(int i,int j){
     if(i==0){
          if(weights[i]<=j){
               return values[i];
          }else{return 0;}         
     }
     if(weights[i]>j) return maxValue(i-1,j);
     int put_i = maxValue(i-1,j-weights[i])+values[i];
     int not_put_i = maxValue(i-1,j);
     return Math.max(put_i,not_put_i);
}

//然後求解maxValue(n,volume)得到最大值

2、自底向上使用遞推公式求解，構造一個關係矩陣dp,dp[i][j]表示將0-i件物品放在大小爲j的袋子中的最大值。最後要求的值是 dp[n][volume]
代碼：
//首先新建關係數組

public int maxValue(){
int n;
int[] values = new int[n];
int[] weights = new int[n];
int volume;
int[][] dp = new int[n+1][volume+1];
for(int i=0;i<=n;i++){
     for(int j=0;j<=volume;j++){
          if(i==0||j==0){
               dp[i][j]=0;
          }else{
               if(j-weights[i-1]>=0){                    
                    dp[i][j]=Math.max(dp[i-1][j],
                    dp[i-1][j-weights[i-1]]+values[i-1]);
               }else{
                    dp[i][j] = dp[i-1][j];
               }
          }
     }
}
return dp[n][volume];
}