Calculation 2
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题意:给你一个数n,求小于n且不和n互质的数的和
思路:对于gcd( n , i )=1,有gcd( n , n-i )=1,故 n 以内的与 n 互质的数的和为 φ(n)*n/2,除了1,2,其余的φ(n)均为偶数
欧拉函数的其他性质:
Euler函数表达通式:euler(x) = x(1 - 1 / p1)(1 - 1 / p2)(1 - 1 / p3)(1 - 1 / p4)…(1 - 1 / pn), 其中p1, p2……pn为x的所有质因数,x>=1。euler(1) = 1(看情况而定,一般为1)。
欧拉定理:对于互质的正整数a和n,有a^φ(n) ≡ 1 mod n。
欧拉函数是积性函数——若m, n互质,φ(mn) = φ(m)φ(n)。
若n是质数p的k次幂,φ(n) = p^k - p ^ (k - 1) = (p - 1)p ^ (k - 1),因为除了p的倍数外,其他数都跟n互质。
特殊性质:当n为奇数时,φ(2n) = φ(n)
上代码:
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<string>
#include<queue>
#include<cstdio>
#include<stack>
#include<vector>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define ll long long
#define inf 0x3f3f3f3f
#define llinf 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
#define mod (ll)1000000007
//if gcd(n,i)==1,then gcd(n,n-i)==1,so 1 to m = euler(n)*n/2
//so the answer=n*(n-1)/2-euler(n)*n/2 use long long
ll euler(ll n)
{
ll res=n;
for(ll i=2;i*i<=n;i++)
{
if(n%i==0)
{
res=res/i*(i-1);
while(n%i==0)
n/=i;
}
}
if(n>1)
return res=res/n*(n-1);
return res;
}
int main()
{
ll n;
while(scanf("%lld",&n)&&n)
{
ll res=euler(n);
printf("%lld\n",((n*(n-1)/2)-(res*n/2))%mod);
}
return 0;
}