牛客網-因數個數和

【題目描述】
q次詢問，每次給一個x，問1到x的因數個數的和。1<=q<=10 ,1<= x <=10^9
【輸入描述】
第一行一個正整數q, 接下來q行，每行一個正整數 x
【輸出描述】
共q行, 每行一個正整數表示答案

【示例】
【輸入】
4
1
2
3
10
【輸出】
1
3
5
27

【思路分析】

方法1：最簡單的就是把1~x各個數的因數個數都求出來再求和。

不過這樣做顯然會超時。

方法2：換一種思路考慮，從1~x 這x個數，每個數都會有1這個因數，每2個數會有一個因數2，每3個數會有一個因數3，.......

所以，1~x 共有 x/1 個因數1，x/2個因數2，x/3個因數3，……，x/n個因數n（1<=n<=x），所以最終個數和爲

再寫代碼就比較簡單了，這裏就不贅述了。但還能不能把計算時間再縮小下呢，或者說有沒有計算量更小的方法呢？

方法3：假設n爲x的因數，那麼x/n 也一定爲x的因數，假設sq爲x的算術平方根，那麼x的因數可以分爲兩部分，一部分都小於sq，一部分都大於（等於）sq。基於方法2，我們也就只需要計算的數值，然後再乘以2。於是我們興致勃勃的去寫代碼了，但是發現程序跑出來的結果並不正確。比之前多了許多。略作研究，我們發現，若x = 1,4,9,16等等，n=1,2,3,4等，n是x的因數，x/n的值正好也是n，我們盲目的乘以2，多計算了sq個。於是我們把代碼修正一下，減去這sq個數字，發現還是多着許多。再仔細看一下不難發現，對於小於sq的因數，每個因數我們都多計算了sq個。綜合前面等於sq的情況，也就是多計算了sq個sq（sq*sq）。這樣說可能比較抽象，舉個例子說一下：

假設x=16，於是，我們求1~16的因數個數的和。

我們是把每個數字的因數都分爲了2部分（小於等於sq和大於sq的兩部分）(sq = 4)

對於數字1，有1個因數（1），我們簡單乘以2，多計算了1次1；

對於數字2，有2因數（1,2），我們簡單乘以2，多計算了1次1，1次2；

對於數字3，有2因數（1,3），我們簡單乘以2，多計算了1次1，1次3；

對於數字4，有2因數（1,2,4），我們簡單乘以2，多計算了1次1，1次2，1次4；

對於數字5，有2因數（1,5），我們簡單乘以2，正好；

對於數字6，有2因數（1,2,3,6），我們簡單乘以2，多計算了1次2，1次3；

對於數字7，有2因數（1,7），我們簡單乘以2，正好；

對於數字8，有2因數（1,2,4,8），我們簡單乘以2，多計算了1次2，1次4；

對於數字9，有2因數（1,3,9），我們簡單乘以2，多計算了1次3；

對於數字10，有2因數（1,2,5,10），我們簡單乘以2，正好；

對於數字11，有2因數（1,11），我們簡單乘以2，正好；

對於數字12，有2因數（1,2,3,4,6,12），我們簡單乘以2，1次3，1次4；

對於數字13，有2因數（1,13），我們簡單乘以2，正好；

對於數字14，有2因數（1,2,7,14），我們簡單乘以2，正好；

對於數字15，有2因數（1,3,5,15），我們簡單乘以2，正好；

對於數字16，有2因數（1,2,4,8,16），我們簡單乘以2，多計算了1次4。

加起來正好是1~sq這sq個因數，每一個都多計算了sq次。所以我們一共多計算了sq*sq次

所以該方法的正確結果應爲，其中sq爲x的算數平方根。

【代碼】

#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<cstdio>
#include<memory.h>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<array>
#include<deque>
#include<list>
#include<map>
#include<queue>
#include<set>
#include<stack>
#include<vector>
#define mem(array)  memset((array),0,sizeof((array)))
#define Qsort(array,len,cmp) qsort(array,len,sizeof(array[0]),cmp)
#define inf 0x7fffffff
#define MAXN 10+10000
using namespace std;
int main()
{
    int q;
    int x;
    long long ans;
    while(cin>>q){
        for(int t = 0; t < q; ++t){
            ans = 0;
            scanf("%d",&x);
            int sq = sqrt(x);
            for(int i = 1; i <= sq; ++i){
                ans += x/i;
            }
            cout << 2*ans -sq*sq << endl;
        }
    }
    return 0;
}

 

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