To xor or not to xor 高斯消元求異或

【題目】

給你n個long long範圍內的整數，你可以選取1個或多個數進行異或操作，使得結果最大，求最大的結果。

【題目分析】

真是一道好題，不是真正理解高斯消元是無法做這題的。
題意：給你n個數，可以選擇任意個數異或，但是要使得最後的異或值最大。
我們把每個數用二進制表示，要使得最後的異或值最大，就是要讓高位儘量爲1，高位能不能爲1就必須用高斯消元判斷了。
1. 根據數的二進制表示，建立方程組的矩陣，結果那列置爲1。
2. 從下往上高斯消元(高位放下面)，如果該行有未被控制的變元，則該行的結果一定爲1，且該變元控制該行。
3. 從該行往上依次消掉(異或)該變元。
4. 如果該行沒有可以用來控制的變元，如果最後一列是0，則該行結果也爲1，否則該行結果爲0。這裏能抱着已用來控制的變元的係數全是0，因爲在第3步時就消掉該行以上此列的0了，後面0與0以後還是0。所以如果最後一列是0, 即該行方程也可以成立，故結果爲1。
建立方程：
a11x1+a21x2……=d[1]
a12x1+a22x2……=d[2]
……

【代碼】

#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<stdio.h>
#include<memory.h>
#define ll long long
using namespace std;
int equ,var;
int n;
int a[62][105];
bool vis[105];
void gauss()
{
    ll ans=0;
    int i,j,k;
    for(i=equ-1;i>=0;i--)
    {
        ans<<=1;
        for(j=0;j<var;j++)
        {
            if(a[i][j]&&!vis[j])
            {
                vis[j]=true;
                ans|=1;
                break;
            }
        }
        if(j==var)
        {
            if(a[i][var]==0) ans|=1;
        }
        else
        {
            for(k=i-1;k>=0;k--)
            {
                if(a[k][j])
                {
                    for(int l=0;l<var+1;l++)
                    a[k][l]^=a[i][l];
                }
            }
        }
    }
   // cout<<equ<<" "<<var<<"*"<<endl;
    cout<<ans<<endl;
}
void init()
{
    ll m;
    var=n;//n個數，所以n個未知數
    equ=0;
    int k;
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        cin>>m;
        k=0;
        while(m!=0)
        {
            int j=m&1;
            a[k++][i]=j;
            m>>=1;
        }
        if(k>equ) equ=k;
    }
    for(int i=0;i<equ;i++)
    a[i][var]=1;
}
int main()
{
    freopen("in.txt","r",stdin);
    while(scanf("%d",&n)!=EOF)
    {
        memset(a,0,sizeof(a));
        memset(vis,false,sizeof(vis));
        init();
        gauss();
    }
}

【後記】

好好理解高斯消元求餘的用法

下面介紹一種yy的方法（非高斯消元）（來自高老闆）：

【代碼】

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int maxn=110;
LL a[maxn];
int n;
int main() {
    while(scanf("%d",&n)!=EOF) {
        for(int i=1; i<=n; i++)
            scanf("%lld",&a[i]);
        for(int i=1; i<=n; i++) {
            int tmp=i;
            for(int j=i+1; j<=n; j++)
                if(a[j]>a[tmp])
                    tmp=j;
            swap(a[i],a[tmp]);

            for(int j=i+1; j<=n; j++)
                a[j]=min(a[j],a[i]^a[j]);
        }
        LL ans=0;
        for(int i=1; i<=n; i++)
            ans=max(ans,ans^a[i]);
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}

【後記】具體代碼是做什麼用的，沒有看太明白。

下面是根據上面代碼進行了一下優化：

【代碼】

#include <stdio.h>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
long long f[150];
int main() {
    int n, i, j;
    while(cin>>n) {
        for(i=0; i<n; i++)
            cin>>f[i];
        sort(f,f+n);
        for(i=0; i<n; i++) {
            for(j=i+1; j<n; j++)
                //if((f[i]^f[j]) <f[j])
                    f[j]=min(f[j],f[i]^f[j]);
        }
        long long ans=0;
        for(i=0; i<n; i++)
            ans=max(ans,ans^f[i]);
        cout<<ans<<endl;
    }
    return 0;
}