P3917 異或序列(位運算）

P3917 異或序列(位運算）

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題意：給定序列求所有區間異或和的和。

思路：經典異或題，顯然需要按照位來計算貢獻。我們需要先預處理前綴異或和，這樣便於計算區間。對於當前位$i$，我們只需看這個區間的異或和的該位是否爲1，也就是該區間該位爲1的個數爲奇數，記$cnt[j]$爲前$j$個數異或和位爲$1$的個數，顯然對於區間$[l,r]$我們只需讓$cnt[r]\oplus cnt[l-1]$爲奇數，即$cnt[l-1],cnt[r]$奇偶性不同即可。

所以統計前綴和有多少個1，每個1都可以與剩下的0組成區間，對於$[0,r]$，顯然0的個數是$r+1-cnt[r]$。利用乘法原理再乘上$2^i$ 即是該位的貢獻。

時間複雜度：$O(32n)$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1e5+5,M=1e6+5,inf=0x3f3f3f3f,mod=1e9+7;
#define mst(a) memset(a,0,sizeof a)
#define lx x<<1
#define rx x<<1|1
#define reg register
#define PII pair<int,int>
#define fi first 
#define se second
int a[N],n;
int main(){
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]),a[i]^=a[i-1];
	ll ans=0;
	for(int i=0,x=(1<<i);i<32;i++,x<<=1){
		int cnt=0;
		  for(int j=1;j<=n;j++)
		  	  if((a[j]>>i)&1) cnt++;
		  ans+=1LL*cnt*(n+1-cnt)*x;
	}
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}

思路2：不用預處前綴異或和，直接計算區間爲奇數的個數，類似$dp$的思想，

如果$a[i]$的第$j$位爲1，進行交換$0,1$片段，$sum=i-sum$, 因爲之前的以$第i-1個數的結尾的區間個數爲sum$，再加上該位的$1$,區間1變成偶數個，所以應該取區間爲$0$的部分作爲貢獻。 時間複雜度: $O(32n)$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1e5+5,M=1e6+5,inf=0x3f3f3f3f,mod=1e9+7;
#define mst(a) memset(a,0,sizeof a)
#define lx x<<1
#define rx x<<1|1
#define reg register
#define PII pair<int,int>
#define fi first 
#define se second
int a[N],n;
int main(){
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
	ll ans=0;
	for(int i=0,x=(1<<i);i<32;i++,x<<=1){
		ll sum=0,cnt=0;
		  for(int j=1;j<=n;j++){
		  	  if((a[j]>>i)&1) sum=j-sum;
		  	cnt+=sum;
		   }
		  ans+=cnt*x;
	}
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}