P5390 [Cnoi2019]數學作業(位運算&組合數學)

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題意：求給定集合所有子集元素異或和的求和。

$ans=\sum\limits_{s_i\subset S}xor\ a_i,a_i\in s_i$

思路：考慮每個位上的貢獻次數。

設對於集合$S$，當前位上爲$1$的個數爲$x$，顯然我們需要選出奇數個$1$才能使該位異或爲$1$，其他爲$0$的數可選可不選，方案數爲：$2^{n-x}$，顯然對於$x$個1，選出奇數個1和偶數個$1$方案是一樣的，因爲對於$x$爲奇數,$|(0,2,\dots,x-1)|=|(1,3,\dots,x)|$.

偶數同理。

所以選出奇數個方案數爲$2^{x-1}$.

所以對於第$k$位的貢獻是：$2^k\times 2^{n-x}\times 2^{x-1}=2^k\times 2^{n-1}$.

需要注意的是當$x=0$時是不可能產生貢獻的，所以我們只需要將集合$S$中所有數進行按位或運算，再乘上$2^{n-1}$即可。

時間複雜度：$O(nlogn)$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1e5+5,M=1e6+5,inf=0x3f3f3f3f,mod=998244353;
#define mst(a) memset(a,0,sizeof a)
#define lx x<<1
#define rx x<<1|1
#define reg register
#define PII pair<int,int>
#define fi first 
#define se second
inline void read(int &x){ 
	x=0;int w=1;
	char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9') {if(ch=='-') w=-1;ch=getchar();}
	for(;ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar())
		x=(x<<3)+(x<<1)+(ch&15);
	x*=w; 
}
ll ksm(ll a,ll n){
	ll ans=1;
	while(n){
		if(n&1) ans=ans*a%mod;
		a=a*a%mod;
		n>>=1;
	}
	return ans;
}
int main(){
	int  t;
	read(t);
	while(t--){
		int n;
		read(n);
		int ans=0;
		for(reg int i=1;i<=n;i++){
			int x;
			read(x);
			ans=ans|x;
		}
		ans=1LL*ans*ksm(2,n-1)%mod;
		printf("%d\n",ans);
	}
	return 0;
}