【題目描述】 計算 1 至 n 中數字 X 出現的次數，其中 n≥1,X∈[0,9]。
【解題思路】這是一道比較簡單的題目，舉個例子先：假設 n=11,X=1，那麼就是求 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 這 11 個數字中 1 出現的次數，很容易能看出來結果爲 4，在 1 和 10 中各出現了一次，在 11 中出現了兩次。最簡單的辦法就是依次遍歷 1 至 n，再分別求每個數字中 X 出現的次數，代碼如下：
#include <stdio.h>
// 計算數字 X 在 n 中出現的次數。
int countOne(int n, int x)
{
int cnt = 0;
for (; n > 0; n /= 10) {
if (n % 10 == x) {
cnt++;
}
}
return cnt;
}
// 計算數字 X 在 1-n 中出現的次數。
int count(int n, int x)
{
int cnt = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
cnt += countOne(i, x);
}
return cnt;
}
int main()
{
printf("%d\n", count(237, 1));
}這個方法的缺點是時間複雜度太高，countOne()方法的時間複雜度是 O(lgn)，count ()方法的時間複雜度是 O(nlgn)。
一個更好的辦法是利用數學公式直接計算出最終的結果，該方法是依次求出數字 X 在個位、十位、百位等等出現的次數，再相加得到最終結果。這裏的 X∈[1,9]，因爲 X=0 不符合下列規律，需要單獨計算。
【x=1 的情況】
編程之美上給出的規律：
1. 如果第i位（自右至左，從1開始標號）上的數字爲0，則第i位可能出現1的次數由更高位決定（若沒有高位，視高位爲0），等於更高位數字X當前位數的權重10^(i-1)。
2. 如果第i位上的數字爲1，則第i位上可能出現1的次數不僅受更高位影響，還受低位影響（若沒有低位，視低位爲0），等於更高位數字X當前位數的權重10^(i-1)+（低位數字+1）。
3. 如果第i位上的數字大於1，則第i位上可能出現1的次數僅由更高位決定（若沒有高位，視高位爲0），等於（更高位數字+1）X當前位數的權重10^(i-1)。
【通用情況】數學規律發現：首先要知道以下的規律：
從 1 至 10，在它們的個位數中，任意的 X 都出現了 1 次。
從 1 至 100，在它們的十位數中，任意的 X 都出現了 10 次。
從 1 至 1000，在它們的千位數中，任意的 X 都出現了 100 次。
依此類推，從 1 至 10^i，在它們的左數第二位（右數第 i 位）中，任意的 X 都出現了10^(i−1) 次。
這個規律很容易驗證，這裏不再多做說明。
接下來以 n=2593,X=5 爲例來解釋如何得到數學公式。從 1 至 2593 中，數字 5 總計出現了 813 次，其中有 259 次出現在個位，260 次出現在十位，294 次出現在百位，0 次出現在千位。
現在依次分析這些數據，首先是個位。從 1 至 2590 中，包含了 259 個 10，因此任意的 X 都出現了 259 次。最後剩餘的三個數 2591, 2592 和 2593，因爲它們最大的個位數字 3 < X，因此不會包含任何 5。（也可以這麼看，3<X，則個位上可能出現的X的次數僅由更高位決定，等於更高位數字(259)×10^(1-1)=259）。
然後是十位。從 1 至 2500中，包含了 25 個 100，因此任意的 X 都出現了 25×10=250 次。剩下的數字是從 2501 至 2593，它們最大的十位數字 9 > X，因此會包含全部 10 個 5。最後總計 250 + 10 = 260。（也可以這麼看，9>X，則十位上可能出現的X的次數僅由更高位決定，等於更高位數字(25+1)×10^(2-1)=260）。
接下來是百位。從 1 至2000 中，包含了 2 個 1000，因此任意的 X 都出現了 2×100=200 次。剩下的數字是從 2001 至 2593，它們最大的百位數字 5 == X，這時情況就略微複雜，它們的百位肯定是包含 5 的，但不會包含全部 100 個。如果把百位是 5 的數字列出來，是從 2500 至 2593，數字的個數與百位和十位數字相關，是 93+1 = 94。最後總計 200 + 94 = 294。（也可以這麼看，5==X，則百位上可能出現X的次數不僅受更高位影響，還受低位影響，等於更高位數字(2)×10^(3-1)+(93+1)=294）。
最後是千位。現在已經沒有更高位，因此直接看最大的千位數字 2 < X，所以不會包含任何 5。（也可以這麼看，2<X，則千位上可能出現的X的次數僅由更高位決定，等於更高位數字(0)X10^(4-1)=0）。
到此爲止，已經計算出全部數字 5 的出現次數。
總結一下以上的算法，可以看到，當計算右數第 i 位包含的 X 的個數時：
1、取第 i 位左邊（高位）的數字，乘以 10^(i−1)，得到基礎值 a。
2、取第 i 位數字，計算修正值：
1、如果大於 X，則結果爲 a+10^(i−1)。
2、如果小於 X，則結果爲 a。
3、如果等 X，則取第 i 位右邊（低位）數字，設爲 b，最後結果爲 a+b+1。
相應的代碼非常簡單，效率也非常高，時間複雜度只有 O(lgn)。
// 計算數字 X 在 1-n 中出現的次數。
int count(int n, int x) {
int cnt = 0, k;
for (int i = 1;k = n / i;i *= 10) {
// k / 10 爲高位的數字。
cnt += (k / 10) * i;
// 當前位的數字。
int cur = k % 10;
if (cur > x) {
cnt += i;
} else if (cur == x) {
// n - k * i 爲低位的數字。
cnt += n - k * i + 1;
}
}
return cnt;
}
// 另一種思路參考 （計算數字 1 在 1-n 中出現的次數）
int NumberOf1Between1AndN_Solution(int n)
{
int ones = 0;
for (long long m = 1; m <= n; m *= 10) {
int a = n/m, b = n%m;
if(a%10 == 0) {
ones += a / 10 * m;
} else if(a%10 == 1) {
ones += (a/10*m) + (b+1);
} else {
ones += (a/10+1)* m;
}
}
return ones;
}
當 X = 0 時，規律與上面給出的規律不同，需要另行考慮。
最主要的區別是，最高位中永遠是不會包含 0 的，因此，從個位累加到左起第二位就要結束，需要將上面代碼中 for 循環的判斷條件改爲 k / 10 != 0。
其次是，第 i 位的基礎值不是高位數字乘以 10^(i−1)，而是乘以 10^(i−1)−1。以 1 至 102 爲例，千位中實際包含 3 個 0，但這三個 0 是來自於個位 2 計算得到的修正值，而非來自於基礎值。千位的基礎值是 0，因爲不存在數字 01, 02, 03, ..., 09，即數字前是沒有前導 0 的。解決辦法就是將上面代碼中第 6 行改爲 cnt += (k / 10 - 1) * i。
經過綜合與化簡，得到了以下代碼：
// 計算數字 0 在 1-n 中出現的次數。
int countZero(int n) {
int cnt = 0, k;
// k / 10 爲高位的數字。
for (int i = 1;(k = n / i) / 10;i *= 10) {
cnt += (k / 10) * i;
// k % 10 爲當前位的數字。
if (k % 10 == 0) {
// n - k * i 爲低位的數字。
cnt += n - k * i + 1 - i;
}
}
return cnt;
}將上面兩段代碼進行合併，可以得到以下代碼，對 X 從 0 到 9 都有效：
// 計算數字 X 在 1-n 中出現的次數。
int count(int n, int x) {
int cnt = 0, k;
for (int i = 1;k = n / i;i *= 10) {
// 高位的數字。
int high = k / 10;
if (x == 0) {
if (high) {
high--;
} else {
break;
}
}
cnt += high * i;
// 當前位的數字。
int cur = k % 10;
if (cur > x) {
cnt += i;
} else if (cur == x) {
// n - k * i 爲低位的數字。
cnt += n - k * i + 1;
}
}
return cnt;
}【參考資料出處】
1、CYJB的博客
3、牛客網ID爲nailperry的用戶（抱歉，本人不知道怎麼添加牛客網題目解析的鏈接）