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作者：果程C
鏈接：http://www.zhihu.com/question/21686447/answer/50481954
來源：知乎
對於初學者，我推薦用複利的例子來理解卷積可能更直觀一些：
小明存入100元錢，年利率是5%，按複利計算（即將每一年所獲利息加入本金，以計算下一年的利息），那麼在五年之後他能拿到的錢數是![100(1+5\%)^5]()
，如下表所示：
<img src="https://pic2.zhimg.com/5fa86c80c31dd277d038527555aa4d75_b.jpg" data-rawwidth="1293" data-rawheight="95" class="origin_image zh-lightbox-thumb" width="1293" data-original="https://pic2.zhimg.com/5fa86c80c31dd277d038527555aa4d75_r.jpg">將這筆錢存入銀行的一年之後，小明又往銀行中存入了100元錢，年利率仍爲5%，那麼這筆錢按複利計算，到了第五年，將收回的錢數是![]()
將這筆錢存入銀行的一年之後，小明又往銀行中存入了100元錢，年利率仍爲5%，那麼這筆錢按複利計算，到了第五年，將收回的錢數是![100(1+5\%)^4]()
，我們將這一結果作爲新的一行加入上面的表格中：
<img src="https://pic4.zhimg.com/39f37df8c96d7219cba5d081919a3a2f_b.jpg" data-rawwidth="1296" data-rawheight="134" class="origin_image zh-lightbox-thumb" width="1296" data-original="https://pic4.zhimg.com/39f37df8c96d7219cba5d081919a3a2f_r.jpg">以此類推，如果小明每年都往銀行中存入新的100元錢，那麼這個收益表格將是這樣的：![]()
以此類推，如果小明每年都往銀行中存入新的100元錢，那麼這個收益表格將是這樣的：
<img src="https://pic2.zhimg.com/cfe98b9d33640fae02a21bf369f0459d_b.jpg" data-rawwidth="1296" data-rawheight="284" class="origin_image zh-lightbox-thumb" width="1296" data-original="https://pic2.zhimg.com/cfe98b9d33640fae02a21bf369f0459d_r.jpg">可見，最終小明拿到的錢將等於他各年存入的錢分別計算複利之後得到的錢數的總和，即：![]()
可見，最終小明拿到的錢將等於他各年存入的錢分別計算複利之後得到的錢數的總和，即：
<img src="https://pic3.zhimg.com/fba65159d3472936979002b01b606a0e_b.jpg" data-rawwidth="1077" data-rawheight="124" class="origin_image zh-lightbox-thumb" width="1077" data-original="https://pic3.zhimg.com/fba65159d3472936979002b01b606a0e_r.jpg">用求和符號來簡化這個公式，可以得到：![]()
用求和符號來簡化這個公式，可以得到：
![\sum_{i=0}^{5}{f(i)g(5-i)}, \mathrm{where} \ f(i)=100, g(5-i) = (1.05)^{5-i}]()
在上式中，![f(i)]()
爲小明的存錢函數，而![g(i)]()
爲存入銀行的每一筆錢的複利計算函數。在這裏，小明最終得到的錢就是他的存錢函數和複利計算函數的卷積。
爲了更清晰地看到這一點，我們將這個公式推廣到連續的情況，也就是說，小明在從![0]()
到![t]()
的這一段時間內，每時每刻都往銀行裏存錢，他的存錢函數爲![f(\tau)\ (0\leq \tau\leq t)]()
，而銀行也對他存入的每一筆錢按複利公式計算收益：![g(t-\tau)=(1+5\%)^{t-\tau}]()
，則小明到時間![t]()
將得到的總錢數爲：
![\int_{0}^{t} f(\tau)g(t-\tau)d\tau=\int_{0}^{t} f(\tau)(1+5\%)^{t-\tau}d\tau]()
這也就是卷積的表達式了，上式可以記爲![(f\ast g)(t)]()
。
相信通過上面這個例子，大家應該能夠很清晰地記住卷積公式了。下面我們再展開說兩句：
小明存入100元錢，年利率是5%，按複利計算（即將每一年所獲利息加入本金，以計算下一年的利息），那麼在五年之後他能拿到的錢數是
，如下表所示：<img src="https://pic2.zhimg.com/5fa86c80c31dd277d038527555aa4d75_b.jpg" data-rawwidth="1293" data-rawheight="95" class="origin_image zh-lightbox-thumb" width="1293" data-original="https://pic2.zhimg.com/5fa86c80c31dd277d038527555aa4d75_r.jpg">將這筆錢存入銀行的一年之後，小明又往銀行中存入了100元錢，年利率仍爲5%，那麼這筆錢按複利計算，到了第五年，將收回的錢數是
將這筆錢存入銀行的一年之後，小明又往銀行中存入了100元錢，年利率仍爲5%，那麼這筆錢按複利計算，到了第五年，將收回的錢數是，我們將這一結果作爲新的一行加入上面的表格中：<img src="https://pic4.zhimg.com/39f37df8c96d7219cba5d081919a3a2f_b.jpg" data-rawwidth="1296" data-rawheight="134" class="origin_image zh-lightbox-thumb" width="1296" data-original="https://pic4.zhimg.com/39f37df8c96d7219cba5d081919a3a2f_r.jpg">以此類推，如果小明每年都往銀行中存入新的100元錢，那麼這個收益表格將是這樣的：
以此類推，如果小明每年都往銀行中存入新的100元錢，那麼這個收益表格將是這樣的：<img src="https://pic2.zhimg.com/cfe98b9d33640fae02a21bf369f0459d_b.jpg" data-rawwidth="1296" data-rawheight="284" class="origin_image zh-lightbox-thumb" width="1296" data-original="https://pic2.zhimg.com/cfe98b9d33640fae02a21bf369f0459d_r.jpg">可見，最終小明拿到的錢將等於他各年存入的錢分別計算複利之後得到的錢數的總和，即：
可見，最終小明拿到的錢將等於他各年存入的錢分別計算複利之後得到的錢數的總和，即：<img src="https://pic3.zhimg.com/fba65159d3472936979002b01b606a0e_b.jpg" data-rawwidth="1077" data-rawheight="124" class="origin_image zh-lightbox-thumb" width="1077" data-original="https://pic3.zhimg.com/fba65159d3472936979002b01b606a0e_r.jpg">用求和符號來簡化這個公式，可以得到：
用求和符號來簡化這個公式，可以得到：在上式中，
爲小明的存錢函數，而爲存入銀行的每一筆錢的複利計算函數。在這裏，小明最終得到的錢就是他的存錢函數和複利計算函數的卷積。爲了更清晰地看到這一點，我們將這個公式推廣到連續的情況，也就是說，小明在從
到的這一段時間內，每時每刻都往銀行裏存錢，他的存錢函數爲，而銀行也對他存入的每一筆錢按複利公式計算收益：，則小明到時間將得到的總錢數爲：這也就是卷積的表達式了，上式可以記爲
。相信通過上面這個例子，大家應該能夠很清晰地記住卷積公式了。下面我們再展開說兩句：
如果我們將小明的存款函數視爲一個信號發生（也就是激勵）的過程，而將複利函數
一個關於卷積的血腥的例子：
比如說你的老闆命令你幹活，你卻到樓下打檯球去了，後來被老闆發現，他非常氣憤，扇了你一巴掌（注意，這就是輸入信號，脈衝），於是你的臉上會漸漸地（賤賤地）鼓起來一個包，你的臉就是一個系統，而鼓起來的包就是你的臉對巴掌的響應，好，這樣就和信號系統建立起來意義對應的聯繫。下面還需要一些假設來保證論證的嚴謹：假定你的臉是線性時不變系統，也就是說，無論什麼時候老闆打你一巴掌，打在你臉的同一位置（這似乎要求你的臉足夠光滑，如果你說你長了很多青春痘，甚至整個臉皮處處連續處處不可導，那難度太大了，我就無話可說了哈哈），你的臉上總是會在相同的時間間隔內鼓起來一個相同高度的包來，並且假定以鼓起來的包的大小作爲系統輸出。好了，那麼，下面可以進入核心內容——卷積了！
如果你每天都到地下去打檯球，那麼老闆每天都要扇你一巴掌，不過當老闆打你一巴掌後，你5分鐘就消腫了，所以時間長了，你甚至就適應這種生活了……如果有一天，老闆忍無可忍，以0.5秒的間隔開始不間斷的扇你的過程，這樣問題就來了，第一次扇你鼓起來的包還沒消腫，第二個巴掌就來了，你臉上的包就可能鼓起來兩倍高，老闆不斷扇你，脈衝不斷作用在你臉上，效果不斷疊加了，這樣這些效果就可以求和了，結果就是你臉上的包的高度隨時間變化的一個函數了（注意理解）；如果老闆再狠一點，頻率越來越高，以至於你都辨別不清時間間隔了，那麼，求和就變成積分了。可以這樣理解，在這個過程中的某一固定的時刻，你的臉上的包的鼓起程度和什麼有關呢？和之前每次打你都有關！但是各次的貢獻是不一樣的，越早打的巴掌，貢獻越小，所以這就是說，某一時刻的輸出是之前很多次輸入乘以各自的衰減係數之後的疊加而形成某一點的輸出，然後再把不同時刻的輸出點放在一起，形成一個函數，這就是卷積，卷積之後的函數就是你臉上的包的大小隨時間變化的函數。本來你的包幾分鐘就可以消腫，可是如果連續打，幾個小時也消不了腫了，這難道不是一種平滑過程麼？反映到劍橋大學的公式上，f(a)就是第a個巴掌，g(x-a)就是第a個巴掌在x時刻的作用程度，乘起來再疊加就ok了，大家說是不是這個道理呢？我想這個例子已經非常形象了，你對卷積有了更加具體深刻的瞭解了嗎？