POJ 1905 題解(二分+幾何)

題面

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分析

如圖:已知AB=L,弧AB=L(1+nC)$AB=L,弧AB=L(1+nC)$ ,M爲AB中點,N爲圓上一點,且ON垂直於AB於M,求MN
設半徑爲R$R$ ,∠AOM=θ$\angle AOM=\theta$ (弧度),MN=x$MN=x$
則可列出方程組
⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪2Rθ=L(1+nc)(1)Rsinθ=L2(2)x=R(1−cosθ)(3)$\{\begin{array}{l}2R\theta =L\left(1+nc\right)(1)\\ R\sin \theta ={\displaystyle \frac{L}{2}}(2)\\ x=R\left(1-\cos \theta \right)(3)\end{array}$
若求出θ$\theta$ 便可以求出x,所以我們從 θ$\theta$ 入手,嘗試解上面的方程組
由(1)(2)式得 θsinθ=1+nC${\displaystyle \frac{\theta }{\sin \theta }}=1+nC$
本人數學不好,求不出上面的方程的解析解(如果有解析解可以在評論中指出)
於是採用二分的方法來近似求根
顯然0<θ≤π2$0<\theta \le {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$
由圖知θ$\theta$ 越大,1+nC越大$1+nC越大$
我們二分θ$\theta$ ,設二分中點爲mid,端點爲[L,R]並計算midsinmid${\displaystyle \frac{mid}{\sin mid}}$ ,若midsinmid>1+nC${\displaystyle \frac{mid}{\sin mid}}>1+nC$ ,則尋找更小的,R=mid.否則尋找更大的,L=mid

還有幾個細節:
1.π$\pi$ 一定要很精確,否則會WA
2.設定的二分誤差要儘量小

代碼

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#define eps 1e-11
#define pi 3.141592653589793
using namespace std;
double L,n,C,theta,x;
int main(){
    while(scanf("%lf %lf %lf",&L,&n,&C)!=EOF){
        if(L==n&&n==C&&C==-1) break;
        if(n*C==0){
            printf("0.000\n");
            continue;
        } 
        double l=eps,r=pi/2;//用弧度表示角 
        while(fabs(l-r)>eps){
            double mid=(l+r)/2;
            double hu=mid/sin(mid);
            if(hu>1+n*C) r=mid;
            else l=mid;
        }
        theta=l;
        double R=L/(2*sin(theta));
        printf("%.3f\n",R*(1-cos(theta)));
    } 
}