複變函數及應用 第二章學習感受

這一章講到了解析函數。由於第一章只是講了複數的各種運算，所以先從函數講起，對於“分析”，或者“函數論”的課程，講函數，都是同一個思路：函數的定義，極限，連續，微分。而且強調了複變函數的極限存在、連續等價於考慮它的實部和虛部的對應性質。這些推廣是很自然的，其他的就是增加了一點關於∞的規定，就是黎曼球面。真正跟實函數有不同點的地方，是從柯西-黎曼方程開始的。這個方程告訴我們，如果函數在某一點可微，那麼實部和虛部是不能任意取值的，而要滿足一定的條件。相反的，如果滿足柯西-黎曼方程，並且偏導數均連續，那麼可微。如果在1個區域內可微，那麼就稱f是區域內的解析函數。（解析函數有很多優良的性質，不過現在無法討論清楚）。給出解析函數的基本定義後又介紹了調和函數，並且給出瞭解析函數還有一個判別法：就是當虛部V是實部U的共軛調和函數。最後講了一個特殊的函數，就是自變量共軛以後帶入函數與自變量帶入函數後取共軛結果相同的函數需要什麼條件。


本章的很多內容都是微積分平移過來的，讀起來沒有太多的不適，但是有幾點還是需要注意：
1.12節映射的內容其實挺抽象的，需要自己畫圖理解，但是感覺跟本章其它小節連續不是特別緊密。
2.作者似乎對極座標情有獨鍾，特地推倒了極座標下的柯西-黎曼方程，但是這個方程卻不及直接座標系下的那麼優雅，記起來很困難。
3.有些知識的講述，似乎放到後面比較合適，比如第26節，講課的老師說後面會得到跟一般的結果，就把這一節跳過去了，書中給的證明我也沒看懂……