複變函數 學習心得

好久沒更新博客了，原因很多；主要的一點是我在中途換了本書，由《複變函數及應用》換成了《複分析基礎及工程應用》，然後又從頭看了。現在大概說說這門學問的學習感受吧！
首先，與微積分相比，它的學習難度要小很多，裏面的大部分證明都是短小精悍，非常容易接受的；但是個別定理，比如柯西定理等等，由於受到拓撲知識的約束，一般書上都會略去不證。但是，學的時候一定要注意跟微積分中一些結論的區別，例如：在某一點解析，那麼就有無窮次導數；柯西積分公式，洛朗級數，留數等。
其次，說說跟學習的內容吧，一般而言都是上來先講複數，然後將解析函數，然後講一些常用的函數（例如指數，對數，三角，多項式），然後講復積分，然後講級數，然後講留數，最後有的書會將初等映射。相比之下，前3章（復積分之前），都是在打基礎，解析函數的知道滿足的關係式，具體函數中注意Log的分支，指數函數的定義稍有奇葩外，都是一些簡單的東西，到了復積分，可以說纔有了復變自己的內容。積分不僅在實數上是困難的，在複數上也是一樣，所以這一章的內容主要圍繞如何算復積分展開。總體上講，有3種方法：參數方程、如果解析，求原函數、柯西積分公式，其中第3種方法是復變特有的。到了級數部分其實是既熟悉又陌生的。泰勒級數大家都會，但是講完泰勒級數以後還會講一個冪級數，爲洛朗級數做準備，而在講洛朗級數時，不論前面的定義如何，但落實到具體計算時，都是轉化爲與冪級數相關的形式計算。而留數的作用，我理解有的時候也是在幫你算積分：柯西定理告訴你，如果解析，那麼積分爲0，柯西積分公式告訴你如果有1個極點，那麼該如何處理，而留數告訴你，如果有多個極點，該如何處理。關於留數的應用，很大一部分都是再算積分（一般或者反常積分）！基本思想也差不多，可見計算積分一直是所有人的心頭大患，想法利用簡單的方法搞定是數學家們的期望。
最後，復變還稍微學了一點以前公認的東西，例如代數學基本定理的證明使用復變就很簡單。


最後，對比一下上面提到的兩本書吧。個人感覺《複分析基礎及工程應用》是一本更好的教科書，主要原因在於：
1.結構，章節條目更清晰，而且，定義，定理，以及對定理的證明都用粗體標出來了，書後也有便於查閱用的索引頁碼。而且清楚的告訴了讀者，那些內容講了，那些內容只講了特例，哪些內容沒講。而且每章後有簡短的總結，幫你梳理主要內容。
2.它的講述的內容更加細緻，深入，比如：在初等函數這一章，專門證明了如何部分分式展開；在積分那一張，他給出的復積分的定義是分隔求和取極限，而《複變函數及應用》則直接用的是參數方程定義，感覺很不協調。在級數那一張，它就專門講了級數收斂的判別法及相關的內容；而在柯西積分定理中，使用了向量分析（格林公式）證明，又使用了周線變形法證明；
3.《複分析基礎及工程應用》中應用的例子講的是與通信緊密相關的傅里葉變換，拉普拉斯變換，z變換等內容，更適合工科學生，而《複變函數及應用》的例子更偏物理一些。
4.《複分析基礎及工程應用》中共性映射的講法是先給出概念，然後舉一些例子；而《複變函數及應用》則是先給出一些映射的例子，然後再講共性映射，這樣感覺開始會有點迷茫，不過我也就是看一個基本概念，因爲工作中似乎用不到。
當然《複變函數及應用》的優點也是很明顯的，它略去了很多繁瑣的細節，直奔主題，如果你想直接搞清楚怎麼用，學這本會更快一些。很多章節的安排都是先告訴你一個定理，然後舉好幾個例子，最後再給出定理的證明。而且課後題也會稍微簡單一點，偏計算爲主，證明題稍微複雜一點的，都會給出提示。


應用部分我只看了《複分析基礎及工程應用》，因爲它們與通信專業關係非常密切；《複變函數及應用》的應用比較偏物理，我覺得還是算了吧。