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文章背景

編程之美 4.1 “金剛坐飛機問題”的問題2，難度比問題1大很多。

編程之美的官方解法，包括原理分析、概率公式、推導過程等，感覺闡述不夠詳細，沒有完全讀懂。

搜索一下 “金剛坐飛機”，參考了幾個很不錯的分析，得到一個自己覺得比較完整的答案。

仔細審題

首先，仔細審題，有兩個細節需要搞清楚：

飛機上總共有多少座位？N？N+1？還是更多？從問題1的官方解答看，飛機上座位總數爲N。
“...乘客們正準備按機票編號（1,2,3...N）依次排隊登機。突然來了一隻大猩猩（對，他叫金剛）。他也有飛機票，但是...”，金剛的機票編號是否屬於閉區間[1,N]？換句話說，所有乘客（包括金剛）的總數是N還是N+1？既然座位總數爲N，金剛也有飛機票，飛機也不可能超載，因此，所有乘客（包括金剛）的總數爲N。金剛的機票編號也屬於閉區間[1,N]。

推敲官方答案

然後，看一下編程之美的官方答案：第i個乘客坐在自己位置上的概率爲。
。
既然飛機座位總數爲N，根據官方答案，第1個乘客的概率爲。實際上，第1個乘客的概率應該爲。計算過程如下：
根據全概率公式，第1個乘客坐在自己座位上的概率：

如何解釋這個問題呢？從問題2的官方解答過程“如果n=1或n>i，那麼第i個乘客坐在自己位置上的概率爲1....”可以推測，官方認爲金剛的機票編號爲1。官方答案中的i應該不包括1。

重新描述問題

到這裏，我重新描述一下問題：
飛機上有N個座位，座位編號依次爲1,2,..N。恰好有N個乘客排隊登機，第1個乘客的座位編號是1，第2個乘客的座位編號是2，...，第N個乘客的座位編號是N。每個乘客都應該坐在編號正確的座位上。但是，第1個乘客是不講道理的金剛，他第一個進入飛機，隨便（隨機）挑了一個座位坐下。其他乘客敢怒不敢言，只好依次找座位坐下。如果自己的座位沒有被佔，則坐自己的作爲，否則，也像金剛那樣隨便挑一個座位。現在，求第i個乘客（第1個乘客還是金剛）坐到自己座位的概率是多少？
我算出的答案爲：

與官方答案是一致的，但是本文會給出更加詳細的計算過程。

概率計算過程

下面描述計算過程。

令P(i)表示，第i個乘客坐到座位i的概率。

金剛的座位明明是空的，他還要隨便佔位；其他乘客只有在自己座位被佔的情況下，才隨便坐。因此，金剛與其他乘客的行爲並不相同，需要分開計算。

先計算金剛的概率

顯然，P(1)就是金剛坐在1號座位的概率。金剛是第一個隨便挑座位的，因此概率爲

。

再計算其他乘客的概率

核心工具是全概率公式

第2~N個乘客的概率不容易看出，我們根據全概率公式來計算，條件爲金剛坐在編號爲j的座位上：

，其中：

P(K=j)表示，金剛坐在座位j的概率
P(i|K=j)表示，在金剛坐在座位j上的情況下，第i個乘客坐在座位i的概率

顯然，金剛坐在位置j的概率均等，都是

。

條件概率P(i|K=j)的計算不太直觀，我們先簡單分析一下：

如果j=1，也就是說金剛居然坐在了自己的座位上，第i個乘客（其實是所有其他乘客）必然能夠坐到自己座位，因此P(K=j) = 1。
如果j=i，也就是說金剛居然坐在了第i個乘客的座位上，第i個乘客肯定不能坐到自己座位，因此P(K=j) = 0。
如果j>i，也就是說，金剛坐了（第i個乘客）後面的座位，不影響前面乘客找座位，第i個乘客（其實是第2~j-1個乘客）必然能夠坐到自己座位，因此P(K=j) = 1。
如果1<j<i，也就是說，金剛搶了（第i個乘客）前面的座位，肯定會影響第i個乘客（其實是第j~N個乘客）的座位。

因此，可以初步計算：

這時，只需要計算最後一個條件概率

。

難點是計算條件概率

可以依次計算P(i|K=i-1)，P(i|K=i-2)，...，P(i|K=2)，發現他們的值都爲

，神奇吧！

最終結果：

自頂向下計算條件概率

那麼，1<j<i時，P(i|K=j)到底是怎麼計算的呢？下面詳細推導一下j=i-1和j=i-2這兩種情況，其他情況可以順推。

如果金剛坐在了座位i-1上，第i-1個乘客可以選擇座位1、i、i+1~N。每種選擇的概率均等，爲1/(N-i+2)：

如果第i-1個乘客選擇座位1，則第i個乘客必然能坐到自己座位，概率爲1
如果第i-1個乘客選擇座位i，則第i個乘客必然不能坐到自己座位，概率爲0
如果第i-1個乘客選擇座位i+1~N，則第i個座位必然能坐到自己座位，概率爲1

根據全概率公式，有

如果金剛坐在了座位i-2上，第i-2個乘客可以選擇座位1、i-1、i~N。每種選擇的概率均等，爲1/(N-i+3)：

如果第i-2個乘客選擇座位1，則第i個乘客必然能坐到自己座位，概率爲1
如果第i-2個乘客選擇座位i-1，則第i-1個乘客的選擇將影響第i個乘客的概率。此種情況恰好可以遞歸到P(i|K=i-1)，只要假設第i-2個乘客就是金剛，它坐在了座位i-1上
如果第i-2個乘客選擇座位i，則第i個乘客必然不能坐到自己座位，概率爲0
如果第i-2個乘客選擇座位i+1~N，則第i個座位必然能坐到自己座位，概率爲1

根據全概率公式，有

如果繼續計算下去，其實可以發現規律，。

挖掘遞歸現象

其實，從上述推導的過程中，我們已經發現遞歸的跡象，是否可以再深入挖掘一下遞歸公式，進而避免繁瑣的推導呢？

如果金剛坐在了座位j上，那麼第j個乘客將會在座位1、j+1~N中隨即選擇一個座位。此時，乘客數量變成N-j+1，座位的數量也是N-j+1，第j個乘客恰好是剩餘乘客的第1個，他變成了新的金剛。我們把他的座位編號從j換成1，這個變換不會影響問題的答案。下面我們來證明這個變換的安全性。

這個變換肯定會影響第j個乘客的概率，但是我們要計算的並不包括第j個乘客，所以不用考慮這個影響。對於第2~i-1個乘客而言，如果第j個乘客無論是坐在1還是j，他們都可以坐在自己的座位上，對他們來說沒有區別，對他們的概率也沒有任何影響。因此，這個變換是安全的。

從問題的形式上看，變換之後的問題，與原問題等價，只是問題規模從N減小到N-j+1，且每位乘客的編號減小(j-1)，座位編號也減小(j-1)。下面詳細描述新問題：

飛機上有N-j+1個座位，座位編號依次爲1,2,..N-j+1。恰好有N個乘客排隊登機，第1個乘客的座位編號是1，第2個乘客的座位編號是2，...，第N-j+1個乘客的座位編號是N-j+1。每個乘客都應該坐在編號正確的座位上。但是，第1個乘客是不講道理的金剛，他第一個進入飛機，隨便（隨機）挑了一個座位坐下。其他乘客敢怒不敢言，只好依次找座位坐下。如果自己的座位沒有被佔，則坐自己的作爲，否則，也像金剛那樣隨便挑一個座位。現在，求第i個乘客（第1個乘客還是金剛）坐到自己座位的概率是多少？