DTW(Dynamic Time Warping)算法

變量定義

1.warping function

F=c(1),c(2)...c(k)...c(K)

其中c(k)=(i(k),j(k))
表示兩個語音特徵序列A和B之間的映射關係。
2.time-normalized distance

D(A,B)=MinF[∑Kk=1d(c(k))⋅w(k)∑Kk=1w(k)]

其中∑w(k) 用來歸一化不同路徑的K大小不一致的問題，d() 表示兩個特徵向量之間的距離。

warping function的限制條件

1.單調性

i(k−1)≤i(k) and j(k−1)≤j(k)

2.連續性

i(k)−i(k−1)≤1 and j(k)−j(k−1)≤1

由以上兩個條件限制了只能向三個方向移動，向上/向右/向右上，而且每次只能移動一步
3.邊界條件

i(1)=1,j(1)=1 and i(K)=I,j(K)=J

4.窗口限制

|i(k)−j(k)|≤r

加窗爲了將對齊路徑限制在對角線附近。
5.斜率限制

P=n/m

避免在橫軸i方向或縱軸j方向走的太偏,當在一個方向走了m步以後，需要在對角線方向走n步。

權重係數w

有兩種典型的計算方式
1.對稱形式

w(k)=(i(k)−i(k−1))+(j(k)−j(k−1))

N=∑k=1Kw(k)=I+J

2.非對稱形式

w(k)=(i(k)−i(k−1))

N=∑k=1Kw(k)=I

在j方向也一樣。
對稱形式的效果更好。

DP求解

假設使用對稱形式的權重係數，不使用斜率限制
- 初始條件

g(1,1)=2d(1,1)

- DP

g(i,j)=min[g(i,j−1)+d(i,j)， g(i−1,j−1)+2d(i,j)， g(i−1,j)+d(i,j)]

其中窗口限制條件j−r≤i≤j+r
- 距離

D(A,B)=1I+Jg(I,J)

算法流程圖如下：

Reference

Dynamic Programming Algorithm Optimization for Spoken Word Recognition