ACM常用定理

定理1.費馬小定理

：費馬小定理是數論中的一個重要定理，其內容爲： 假如p是質數，且gcd(a,p)=1，那麼 a^(p-1) ≡1（mod p） 假如p是質數，且a,p互質，那麼 a的(p-1)次方除以p的餘數恆等於1。

定理2.模乘法得逆

：對於兩個整數a，b，a/b是整數，且a和b除以mod得餘數分別爲aa，bb，則a/b除以mod得餘數爲（aa*bb^(-1)）%mod,其中b^(-1)是b的逆.

(當(a*b)%mod=1是，我們稱a和b互爲乘法的逆，即a=b^(-1),b=a^(-1))

相關代碼：

void gcd(LL a,LL b,LL &d,LL &x,LL &y)//拓展歐幾里得定理，求ax+by=gcd(a,b)的一組解
{
    if(!b){d=a;x=1;y=0;}
    else{gcd(b,a%b,d,y,x);y-=x*(a/b);}
}
LL inv(LL a,LL n)//求得a在模n條件下的逆
{
   LL d,x,y;
   gcd(a,n,d,x,y);
   return d==1?(x+n)%n:-1;
}

推論1：mod爲質數，由費馬小定理得b^(mod-1)%mod=1-->(b*b^(mod-2))%mod=-1,所以b的逆=b^(mod-2).

對於整數a,b（b<mod），且a/b是整數,則a/b除以mod得餘數是(a%mod*b^(-1))%mod-->(a%mod*b^(mod-2))%mod.可用於求分數形式整數的模

定理3.SG定理

組合遊戲：一個狀態是必敗狀態當且僅當它的所有後繼都是必敗狀態；一個狀態是必勝條件當且僅當它至少有一個後繼是必敗狀態

    組合遊戲的和。假設有k個組合遊戲G1，G2,...Gk，可以定義一個新遊戲，在每個回合中，
當前遊戲可以任選一個子遊戲Gi進行一次合法操作，而讓其他遊戲的局面保持不變，不鞥操作的遊戲者輸。
這個新遊戲稱爲G1，G2，...，G3的和


    SG函數和SG定理。對於任意狀態x，定義SG(x)=mex(S),其中S是x的後繼狀態的SG函數值集合，mex(S)表示不在S內的最小非負
整數。SG(x)當且僅當x爲必敗狀態.遊戲和的SG函數SG函數等於各子游戲SG函數的Nim和。


    Bouton定理：狀態(x1,x2,x3)爲必敗狀態當且僅當x1^x2^x3=0,稱爲Nim和。可看做SG定理在Nim遊戲中的運用

例子：UVALive/LA 5059+UVA 10561+UVA 12293

定理4.pick定理

給定一個頂點均爲整點（即座標爲整數的點）的簡單多邊形，其面積A和內部格點數目I與邊上格點數目B的關係式：A=I+B/2-1.

定理5.Lucas定理

    A、B是非負整數，p是質數。AB寫成p進制：A=a[n]a[n-1]...a[0]，B=b[n]b[n-1]...b[0]。
    則組合數C(A,B)與C(a[n],b[n])*C(a[n-1],b[n-1])*...*C(a[0],b[0])  mod p同餘
    即：Lucas(n,m,p)=c(n%p,m%p)*Lucas(n/p,m/p,p) 

例子：poj 3146

定理6.歐拉定理

a^(phi(n))≡1(mod n) (a,n互質), phi(n)是歐拉函數，表示不超過n的且與n互質的數的個數。

例子：hdu3307

定理7.五邊形數定理

可用於生成函數(母函數)：

(1-x-x^2+x^5+x^7-x^12...)(1+p(1)x+p(2)x^2+p(3)x^3)=1;(整數劃分的生成函數爲1/∏(1-x^i))

得到p(n)=p(n-1)+p(n-2)-p(n-5)-p(n-7)+...

定理8.柯尼希定理（最小頂點覆蓋，二分圖匹配，匈牙利算法）

資料源自：http://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%A6%86%E7%9B%96_(%E5%9B%BE%E8%AE%BA)

http://baike.baidu.com/link?url=5gWVO-A8T_AUGw21_P85QiijE7T934ecsDq-50f8SMh02Vpd1tIuTSgjD4cS922u

     圖G的頂點覆蓋是一個頂點集合V，使得G中的每一條邊都接觸V中的至少一個頂點。我們稱集合V覆蓋了G的邊。最小頂點覆蓋是用最少的頂點來覆蓋所有的邊。頂點覆蓋數是最小頂點覆蓋的大小。
     二分圖又稱作二部圖，是圖論中的一種特殊模型。 設G=(V,E)是一個無向圖，如果頂點V可分割爲兩個互不相交的子集(A,B)，並且圖中的每條邊（i，j）所關聯的兩個頂點i和j分別屬於這兩個不同的頂點集(i ∈A,j ∈ B)，則稱圖G爲一個二分圖。
     無向圖G爲二分圖的充分必要條件是，G至少有兩個頂點，且其所有迴路的長度均爲偶數。
     匈牙利算法：它是一種用增廣路徑求二分圖最大匹配的算法。

      http://baike.baidu.com/link?url=1U3pNCTlWDbUG1A-YexAqNo_D_1rpFEKBO7IBcjq7d3_MY7MwhCAxeF5MnXW4O-5

int find(int cur)  //判斷增廣路是否存在
{
    int i, k;
    for(i = 0; i < map[cur].size(); i++)
    {
        k = map[cur][i];
        if(!flag[k])
        {
            flag[k] = true;
            if(pre[k] == -1 || find(pre[k]))
            {
                pre[k] = cur;
                return 1;
            }
        }
    }
    return 0;
}

for(i = 0; i < n; i++)
        {
            memset(flag, false, sizeof(flag));
            sum += find(i);
        }

sum就是最大匹配值。

柯尼希定理是這樣一個定理：二分圖最小點覆蓋的點數=最大匹配數。

poj 3041；poj1422,2239,1422,1325,1719,2594,2195,2446,1904,3342,3216,3020

一個PXP的有向圖中，路徑覆蓋就是在圖中找一些路徑，使之覆蓋了圖中的所有頂點，
且任何一個頂點有且只有一條路徑與之關聯；（如果把這些路徑中的每條路徑從它的起始點走到它的終點，
那麼恰好可以經過圖中的每個頂點一次且僅一次）；如果不考慮圖中存在迴路，那麼每條路徑就是一個弱連通子集

最小路徑覆蓋的邊數=頂點數n-最大匹配數

最大獨立集：在二分圖G中，點集合M，M中的各個點都不相連，則稱M爲G的獨立集。M中點個數最多的稱爲最大獨立集

最大獨立集=最小路徑覆蓋=n-最大匹配數

例：(1,3),(3,4),(2,3),對於無向圖，可以得到兩種二分圖：

1.（1-3,4-3,2-3）,求得最大匹配爲m=1，即爲最小頂點覆蓋數，最大獨立集=n-m

2.(1-3,3-1,4-3,3-4,2-3,3-2),求得最大匹配m=2，即爲最小頂點覆蓋數*2，最大獨立集=n-m/2

有向圖：

(1-3,2-3,3-4),最大匹配爲m=2，最小路徑覆蓋=n-m;