和朋友玩博弈遊戲的時候，像象棋，五子棋，總是希望自己的能夠掌握什麼祕訣，以至於有必勝的信心。然而，很多棋類是人的能力所不能尋求到必勝策略的。象棋，五子棋，黑白棋，鬥獸棋，飛行棋，跳棋，……正是這些棋類的複雜性，人們掌握不了其必勝的法則，也使它們得以長久流傳。
今天我們來討論一類精心設計的，有必勝策略的，專門用來坑人的博弈小遊戲！這種遊戲有的很容易看出破綻，有的卻坑人於無形之中。
第一個遊戲：20顆石頭擺成一排，A，B輪流從當中拿走1~3顆石頭（A先拿），直到誰把最後的石頭拿走了，則這個人判贏。請問誰會有必勝策略呢？
建議讀者嘗試自己先玩兩盤，相信不久就會得出一些結論！事實上，後拿的人會有必勝策略。我們假定兩人都從左往右拿。當第一個人拿i個時，第二個人只需拿4-i個，則兩人共拿走4顆。繼續維持這種局勢，每輪兩人都共拿走4顆，則最後一顆必然是後拿的人取走，先拿的人則輸了。
擴展：當第一個遊戲的石子增加到23顆時，誰有必勝策略？這時，先拿的人只需先將多出的三顆拿走，則自己變成了第一個遊戲當中後拿的人，所以該遊戲中先拿的人有必勝策略。
總結：N顆石頭擺成一排，A，B輪流從當中拿走1~k顆石頭（A先拿），直到誰把最後的石頭拿走了，則這個人判贏。當N是k+1的倍數時，B有必勝策略。否則，A有必勝策略。
第二個遊戲：N顆石頭擺成一排，A，B輪流從當中拿走1~k顆石頭（A先拿），直到誰把最後的石頭拿走了，則這個人判輸。
這時誰拿到最後一個石頭就輸，也即誰將倒數第二個石頭拿走就贏了。假設將最後一顆石子拿出，遊戲二就轉化成了N-1顆石子的遊戲一。
總結：當N-1是k+1的倍數時，B有必勝策略。否則，A有必勝策略。這兩個遊戲隨時都能與朋友分享，如用筆在紙上劃圈代表撿石頭。將撿i個石頭看成上i個樓梯，看誰先達到上一層樓。或者無需任何道具，從0開始每人加一個1~3的數，看誰先加過20！
第三個遊戲：N顆石頭擺成一排，A，B輪流從當中拿走1~2顆石頭（A先拿），如果拿2顆，這兩顆必須連在一起（注意石子是排成一條線的），直到誰把最後的石頭拿走了，則這個人判贏。
A只要根據對稱的思想就能輕鬆獲勝。最初，A只要將一排石頭從中間斷開，分成均等的兩份。然後B只要對其中一份操作，A就在另一份中執行相同的操作。這保證了B有石子拿的情況下，A就一定有得拿。所以最後一個石子肯定是A的。
擴展1：將石頭圍成一圈，假設石頭足夠多，不會一開始就被A全部拿走，那麼A第一次會將圈斷開，也即B成了勝利者。
擴展2：我們可以將一排石頭換成一個5*5的格子方陣，每個格子裏放一塊石頭，也要求每次拿一個或兩個，拿兩個則要求相鄰，這時A只要佔據中心點，然後對稱地拿即可！然而，當方陣的邊長變爲偶數時，問題又變得不同了。試玩玩2*2的方針，會發現B有必勝策略，因爲此時方針中不存在孤立的中心點，每個格子都有與之對稱的，B只要根據對稱思想即可獲勝。有興趣的話還可以擴展到長方形的情況看看！
對於對稱思想的運用，主要是使得對手不得不打破對稱，而自己則不斷維護對稱！
我根據第一二個遊戲的擴展思路，將遊戲三擴展如下，至今還在思考中。
第四個遊戲：m*n顆石頭擺成m*n的矩型，A，B輪流從當中拿走1~2顆石頭（A先拿），如果拿2顆，這兩顆必須連在一起（注意石子是排成一個矩型的），直到誰把最後的石頭拿走了，則這個人判輸。誰有必勝策略？
最重要的問題：P(positive)局面和N(negative)局面!
上面的遊戲當中我們可以看出，有必勝策略的一方始終再維護一種具有某些性質的局面。如遊戲一種後拿的人始終希望將剩餘的石子數變爲4的倍數。遊戲三中先拿的人始終希望將剩餘的石子變得對稱！我們稱這種具有某些性質的局面爲P局面。而不具備這種性質的局面成爲N局面。可以看出兩種局面的一些性質（以遊戲一作說明）。
P局面下的任意操作都將導致N局面。（當從4k顆石子的堆中拿走1~3顆，剩餘的石子必不是4的倍數）。
任何N局面都能存存在一種操作將其變爲P局面。（只要從4k+i（i=1,2,3）顆石子的堆中拿走i顆,剩餘的石子就爲4k。）
最終，贏家在一個P局面中獲勝了，或者輸家在一個N局面中失敗了。（0是4的倍數，再最後一次維護中B獲勝了）
所以，很多博弈小遊戲其實就是找到合適的P，N局面，就能找到必勝策略！像下面將介紹的這個NIM遊戲，據說NIM是由單詞WIN倒寫而來的，有時也將NIM作爲上述撿石子游戲的總稱！
第五個遊戲：有若干堆石子，每堆石子的數量都是有限的，合法的操作是“選擇一堆石子並拿走若干顆（不能不拿）”，如果輪到某個人時所有的石子堆都已經被拿空了，則判輸（因爲他此刻沒有任何合法的操作）。
這個問題的P，N局面是很神奇的。我們將會在相關文章中討論！
轉自：http://blog.sina.com.cn/u/1885661061