鏡像矩陣（Reflection）

原創

2018-09-30 04:57

鏡像（反射）矩陣是n維空間中的沿n-1維平面的一種矩陣變換，常見的應用場景是在2維空間圖像處理、3維空間物體場景變換。先直觀看看鏡像變換的效果：

直觀的感受了鏡像變換的效果之後，接下來我們看看這個變換的數學表達式是什麼樣的。首先n維度空間的鏡像變換是基於某個n-1維度平面（對於2維度就是某條直線）來說的，線性代數的知識知道n維空間的n-1維平面存在法向量，假設 $u=(u_{1},u_{2},...,u_{n})$ 是要做鏡像平面的單位法向量，單位法向量||u||=1，定義鏡像矩陣 $Q=I-2uu^{T}$ 。

1. Q是對稱和標準正交的， $\because$ $Q^{T}=(I-2uu^{T})^{T}=I-2uu^{T}$ $\therefore$ Q是對稱的。 $\because$ $Q^{T}Q=I-4uu^{T}+4uu^{T}uu^{T}=I$ $\therefore$ Q是標準正交的。如果對矩陣運算背後的原理不太熟悉，我們也可以將Q展開:

$Q=I-2uu^{T}=\begin{bmatrix} 1-2u_{1}^{2} &-2u_{1}u_{2} &... &-2u_{1}u_{n} \\ -2u_{2}u_{1}&1-2u_{2}^{2} &... &-2u_{2}u_{n} \\ ...& ... & ... &... \\ -2u_{n}u_{2} & -2u_{n}u_{2} &... & 1-2u_{n}^{2} \end{bmatrix}$

由Q的矩陣展開形式，很明顯看到 $Q_{ij}=Q_{ji}=-2u_{i}u_{j},i\neq j$ ，所以Q是對稱的。標準正交： $q_{i},q_{j}$ 是Q的兩列，由標準正交的定義，需要滿足如下條件：

$q_{i}q_{j}=\begin{cases} 0& \text{ if } x\neq j \\ 1& \text{ if } x=j \end{cases}$

$q_{i}q_{j}=(1-2u_{i}^2)^{2}+4u_{i}^2u_{1}^2+...+4u_{i}^{2}u_{n}^2$

$=1+4u_{i}^4-4u_{i}^2+4u_{i}^2u_{1}^2+...+4u_{i}^{2}u_{n}^2$

$=1+4u_{i}^2(u_{1}^{2}+...+u_{n}^{2})-4\overset{||u||^{2}=1}{\rightarrow}$

$q_{i}q_{j}=(1-2u_{i}^2)(-2u_{i}u{j})+(1-2u_{j}^{2})(-2u_{j}u_{i})+4u_{i}u_{j}u_{1}^2+...4u_{i}u_{j}u_{k}^2...+4u_{i}u_{j}u_{n}^2,k\neq i,j$

$=-4u_{i}u_{j}+4u_{i}u{j}(u_{1}^2+...+u_{n}^2)$

2. $Q^{2}=Q^{T}Q=I$ ,這條性質反應了鏡像的特點，鏡像兩次等於原空間。

上面是鏡像矩陣的定義和它的一些性質和推導，那麼我們再做一點深層次的思考：爲什麼鏡像的表達會是一個矩陣變換，如果我做旋轉是不是也是一個矩陣變換？首先，問題2的答案：YES,2維空間的旋轉的變換矩陣是： $\begin{bmatrix} cos\Theta & -sin\Theta \\ sin\Theta& cos\Theta \end{bmatrix}$ 。

對於問題1，矩陣變換的本質可以理解成座標系的變換，對於鏡像和旋轉我們都是對原座標系中的向量（座標系中的點可以表示成原點指向該點的向量）用新的座標系中的基進行了表示。比如二維直角座標系x0y的座標基向量是（1，0）和（0，1），如果用矩陣表示： $\begin{bmatrix} 1 &0 \\ 0 &1 \end{bmatrix}$ ,基向量就是矩陣的列向量，(1,1)點這個座標系下的座標（x,y）由方程組 $\begin{bmatrix} 1 &0 \\ 0 &1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1\\ 1 \end{bmatrix}$ 求得(x，y)=（1，1）因爲在原座標系下，假設我們對（1，1）點做沿x軸做鏡像，這裏的鏡像很簡單，x軸和原座標系相同，y軸與原座標系反號，所以鏡像之後新的座標系基向量是(1,0)和(0,-1)（如果你通過上面的鏡像公式可以求得同樣的答案，u=(0,1)）,新的座標系的矩陣表示 $\begin{bmatrix} 1 &0 \\ 0 &-1 \end{bmatrix}$ ，原座標系下（1，1）點在新座標系下的座標有方程組 $\begin{bmatrix} 1 &0 \\ 0 &-1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1\\ 1 \end{bmatrix}$ 求得（x,y）=(1,-1),和我們直觀認知一樣：