镜像矩阵（Reflection）

原創

2018-09-30 04:57

镜像（反射）矩阵是n维空间中的沿n-1维平面的一种矩阵变换，常见的应用场景是在2维空间图像处理、3维空间物体场景变换。先直观看看镜像变换的效果：

直观的感受了镜像变换的效果之后，接下来我们看看这个变换的数学表达式是什么样的。首先n维度空间的镜像变换是基于某个n-1维度平面（对于2维度就是某条直线）来说的，线性代数的知识知道n维空间的n-1维平面存在法向量，假设 $u=(u_{1},u_{2},...,u_{n})$ 是要做镜像平面的单位法向量，单位法向量||u||=1，定义镜像矩阵 $Q=I-2uu^{T}$ 。

1. Q是对称和标准正交的， $\because$ $Q^{T}=(I-2uu^{T})^{T}=I-2uu^{T}$ $\therefore$ Q是对称的。 $\because$ $Q^{T}Q=I-4uu^{T}+4uu^{T}uu^{T}=I$ $\therefore$ Q是标准正交的。如果对矩阵运算背后的原理不太熟悉，我们也可以将Q展开:

$Q=I-2uu^{T}=\begin{bmatrix} 1-2u_{1}^{2} &-2u_{1}u_{2} &... &-2u_{1}u_{n} \\ -2u_{2}u_{1}&1-2u_{2}^{2} &... &-2u_{2}u_{n} \\ ...& ... & ... &... \\ -2u_{n}u_{2} & -2u_{n}u_{2} &... & 1-2u_{n}^{2} \end{bmatrix}$

由Q的矩阵展开形式，很明显看到 $Q_{ij}=Q_{ji}=-2u_{i}u_{j},i\neq j$ ，所以Q是对称的。标准正交： $q_{i},q_{j}$ 是Q的两列，由标准正交的定义，需要满足如下条件：

$q_{i}q_{j}=\begin{cases} 0& \text{ if } x\neq j \\ 1& \text{ if } x=j \end{cases}$

$q_{i}q_{j}=(1-2u_{i}^2)^{2}+4u_{i}^2u_{1}^2+...+4u_{i}^{2}u_{n}^2$

$=1+4u_{i}^4-4u_{i}^2+4u_{i}^2u_{1}^2+...+4u_{i}^{2}u_{n}^2$

$=1+4u_{i}^2(u_{1}^{2}+...+u_{n}^{2})-4\overset{||u||^{2}=1}{\rightarrow}$

$q_{i}q_{j}=(1-2u_{i}^2)(-2u_{i}u{j})+(1-2u_{j}^{2})(-2u_{j}u_{i})+4u_{i}u_{j}u_{1}^2+...4u_{i}u_{j}u_{k}^2...+4u_{i}u_{j}u_{n}^2,k\neq i,j$

$=-4u_{i}u_{j}+4u_{i}u{j}(u_{1}^2+...+u_{n}^2)$

2. $Q^{2}=Q^{T}Q=I$ ,这条性质反应了镜像的特点，镜像两次等于原空间。

上面是镜像矩阵的定义和它的一些性质和推导，那么我们再做一点深层次的思考：为什么镜像的表达会是一个矩阵变换，如果我做旋转是不是也是一个矩阵变换？首先，问题2的答案：YES,2维空间的旋转的变换矩阵是： $\begin{bmatrix} cos\Theta & -sin\Theta \\ sin\Theta& cos\Theta \end{bmatrix}$ 。

对于问题1，矩阵变换的本质可以理解成座标系的变换，对于镜像和旋转我们都是对原座标系中的向量（座标系中的点可以表示成原点指向该点的向量）用新的座标系中的基进行了表示。比如二维直角座标系x0y的座标基向量是（1，0）和（0，1），如果用矩阵表示： $\begin{bmatrix} 1 &0 \\ 0 &1 \end{bmatrix}$ ,基向量就是矩阵的列向量，(1,1)点这个座标系下的座标（x,y）由方程组 $\begin{bmatrix} 1 &0 \\ 0 &1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1\\ 1 \end{bmatrix}$ 求得(x，y)=（1，1）因为在原座标系下，假设我们对（1，1）点做沿x轴做镜像，这里的镜像很简单，x轴和原座标系相同，y轴与原座标系反号，所以镜像之后新的座标系基向量是(1,0)和(0,-1)（如果你通过上面的镜像公式可以求得同样的答案，u=(0,1)）,新的座标系的矩阵表示 $\begin{bmatrix} 1 &0 \\ 0 &-1 \end{bmatrix}$ ，原座标系下（1，1）点在新座标系下的座标有方程组 $\begin{bmatrix} 1 &0 \\ 0 &-1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1\\ 1 \end{bmatrix}$ 求得（x,y）=(1,-1),和我们直观认知一样：