有符號數表示法（原碼、補碼、反碼、移碼）

最近在看哈工大劉宏偉老師的《計算機組成原理》，總結其中關於有符號數的幾種表示法，順便感謝老師這麼好的公開課。

首先先明確兩個概念：

• 真值：帶符號的數，如+101，-101
• 機器數：符號數字化的數，如0101，1101

下面結束有符號數的四種表示法

1. 原碼錶示法

定義：

• 對於整數
  $[x]_{原}=\begin{cases} 0, x & 2^n>x\geq0\\ 2^n-x & 0\geq x>-2^n \end{cases}$
  其中$x$爲真值，$n$爲整數的位數。
  例子：
  $x=+1110\quad [x]_{原}=0,1110$
  $x=-1110\quad [x]_{原}=2^4+1110=1,1110$
  這裏逗號用於分割符號位和數值部分，實際計算機存儲中不存在，下同。
• 對於小數
  $[x]_{原}=\begin{cases} x & 1>x\geq0\\ 1-x & 0\geq x>-1 \end{cases}$
  例子：
  $x=+0.1101 \quad {x}_{原}=0.1101$
  $x=-0.1101 \quad {x}_{原}=1+0.1101=1.1101$
  這裏用小數點將符號位和數值位分隔開，下同

Note: $[+0]_{原}\neq[-0]_{原}$
優點： 簡單、直觀。
缺點： 沒有統一加減法（對於兩個數相加，如果用源碼錶示法，可能需要做加法可能需要做減法，對運算器而言比較麻煩。）

2. 補碼錶示法

優點： 統一加減法
定義：

• 對於整數
  $[x]_{補}=\begin{cases} 0, x & 2^n>x\geq0\\ 2^{n+1}+x & 0> x\geq-2^n(mod\,2^{n+1}) \end{cases}$
  其中$x$爲真值，$n$爲整數的位數。
  例子：
  $x=+1010\quad [x]_{補}=0,1010$
  $x=-1011000\quad [x]_{補}=2^{7+1}+(-1011000)=1,0101000$
• 對於小數
  $[x]_{補}=\begin{cases} x & 1>x\geq0\\ 2+x & 0> x\geq-1(mod\,2) \end{cases}$
  例子：
  $x=+0.1110\quad\quad\, \,\, [x]_{補}=0.1110$
  $x=-0.1100000\quad [x]_{補}=2+(-0.1100000)=1.0100000$
  Note$[+0]_{補}\neq[-0]_{補}$

求補碼的快捷方式：
當真值爲正時，補碼與原碼相同；當真值爲負時，補碼可用原碼除符號位外，按位取反，末位再加1得到。
通過補碼求原碼：
當真值爲正時，原碼與補碼相同；當真值爲負時，原碼可用補碼除符號位外，按位取反，末位再加1得到。

3. 反碼錶示法

定義：

• 對於整數
  $[x]_{反}=\begin{cases} 0, x & 2^n>x\geq0\\ 2^{n+1}-1+x & 0\geq x>-2^n(mod\,2^{n+1}-1) \end{cases}$
  其中$x$爲真值，$n$爲整數的位數。
  例子：
  $x=+1101\quad [x]_{反}=0,1101$
  $x=-1101\quad [x]_{反}=2^{4+1}-1+(-1101)=1,0010$
• 對於小數
  $[x]_{反}=\begin{cases} x & 1>x\geq0\\ 2-2^{-n}+x & 0> x\geq-1(mod\,2-2^{-n}) \end{cases}$
  其中$x$爲真值，$n$爲小數的位數。
  例子：
  $x=+0.1101\quad [x]_{反}=0.1101$
  $x=-0.1010\quad [x]_{補}=2-2^{-4}+(-0.1010)=1.0101$
  Note: $[+0]_{反}\neq[-0]_{反}$

三種機器數小結

• 最高位爲符號位，書寫上用“，”（整數）或“.”（小數）將數值部分和符號位隔開。
• 對於正數，原碼=補碼=反碼
• 對於負數，符號位爲1，其數值部分將原碼數值部分按位取反末位加1—>補碼；原碼數值部分按位取反—>反碼。

4. 移碼錶示法