2018CCPC秦皇島熱身賽B題解: $$ \sum_{i=1,j>i}^{n}(a_j-a_i)^2$$

##2018CCPC秦皇島熱身賽B題解: $\sum_{i=1,j>i}^{n}(a_j-a_i)^2$

暴力法$O(n^2)$比較容易想到，不再贅述

這裏提供一個$O(n)$的解法

$T=\sum_{i=1,j>i}^{n}(a_j-a_i)^2$
則有$T+0+T=\sum_{i=1,j>i}^{n}(a_j-a_i)^2+\sum_{i=1,j=i}^{n}(a_j-a_i)^2+\sum_{i=1,j<i}^{n}(a_j-a_i)^2$
$=\sum_{i=1,j=1}^{n}(a_j-a_i)^2$
$=\sum_{i=1,j=1}^{n}{a_i^2}+\sum_{i=1,j=1}^{n}{a_j^2}-2*\sum_{i=1,j=1}^{n}{a_i*a_j}$
$=n*\sum_{i=1}^{n}{a_i^2}+n*\sum_{j=1}^{n}{a_j^2}-2*\sum_{i=1}^{n}{a_i}*\sum_{j=1}^{n}{a_j}$
令$S_1=\sum_{i=1}^{n}{a_i}$
$S_2=\sum_{i=1}^{n}{a_i^2}$
則$2*T=2*n*S_2-2*S_1$
即 $T=n*S_2-S_1$
這樣構造出$a_i$的部分和$S_1$和平方部分和$S_2$後就可以直接計算出$T$