利用MATLAB求解非線性優化問題---fgoalattain函數詳解及應用案例

最近在做方程組的非線性優化問題，用到了fgoalattain函數，總結一下：

1. 意義
   解決多目標的非線性優化問題
2. 函數形式
   函數表示形式如下：
   
   上式中，weight, goal, b和beq 是向量(組)，A 和Aeq 是矩陣, c(x), ceq(x)和F(x) 返回值爲向量的函數，函數可以是非線性的，x, lb, ub 可以以向量或者矩陣的形式傳遞或者表示;
3. 在不同場景下的語法形式

x = fgoalattain(fun,x0,goal,weight)
x = fgoalattain(fun,x0,goal,weight,A,b)
x = fgoalattain(fun,x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq)
x = fgoalattain(fun,x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq,lb,ub)
x = fgoalattain(fun,x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon) 
x = fgoalattain(fun,x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options)
x = fgoalattain(problem)
[x,fval] = fgoalattain(...)
[x,fval,attainfactor] = fgoalattain(...) 
[x,fval,attainfactor,exitflag] = fgoalattain(...)
[x,fval,attainfactor,exitflag,output] = fgoalattain(...)
[x,fval,attainfactor,exitflag,output,lambda] = fgoalattain(...)

4. 描述

x = fgoalattain(fun,x0,goal,weight)  的作用是使函數fun提供的目標函數通過改變x的值來實現goal指定的目標，x的數值從x0開始，權重由weight指定；
x = fgoalattain(fun,x0,goal,weight,A,b) 的作用是解決線性不等式A*x ≤ b的目標優化問題；
x = fgoalattain(fun,x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq) 的作用是解決線性等式Aeq * x = beq的目標優化問題。 如果不存在不等式，則通過指定設置A = []和b = []的形式進行填充。
x = fgoalattain(fun,x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq,lb,ub) 的作用是在以上式子的基礎上，在x中的設計變量上定義了一組下限和上限，因此解決方案始終在lb≤x≤ub的範圍內。
x = fgoalattain(fun,x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon) 的作用是將目標優化問題置於nonlcon參數中定義的非線性不等式c（x）或非線性等式ceq（x）。 fgoalattain優化使得c（x）≤0且ceq（x）= 0.如果不存在邊界，則設置lb = []或ub = []；
x = fgoalattain(fun,x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options)的作用是通過options中指定的優化選項進行最小化優化，選項設置可以使用optimoptions；
x = fgoalattain(problem) 的作用是找到問題(problem)的最小值，其中問題是輸入參數中描述的結構;其中我們可以通過從Optimization應用程序導出的問題來創建問題結構；
[x,fval] = fgoalattain(...) 返回在解x的過程中fun計算的目標函數的值；
[x,fval,attainfactor] = fgoalattain(...) 返回解x處的目標達到因子；
[x,fval,attainfactor,exitflag] = fgoalattain(...)返回exitflag參數，描述計算的退出條件；
[x,fval,attainfactor,exitflag,output] = fgoalattain(...)返回包含優化信息的輸出參數output；
[x,fval,attainfactor,exitflag,output,lambda] = fgoalattain(...) 返回包含拉格朗日乘子的lambda參數。

5. 函參詳解
   <1>. fun：要進行優化的函數；
   fun是一個接受向量x並返回向量F的函數，在x處計算目標函數， fun可以通過函數文件的函數句柄進行指定；例如x = fgoalattain(@myfun,x0,goal,weight)，其中，myfun就是MATLAB中的函數比如 ：function F = myfun(x)； F = ...，fun也可以是匿名函數的函數句柄，比如x = fgoalattain(@(x)sin(x.*x),x0,goal,weight)，其中的sin函數就是匿名函數；如果x和F的用戶定義值是數組，則系統會使用線性索引將它們轉換爲向量。
   爲了使目標函數儘可能接近目標值（即，既不大於也不小於），使用優化將EqualityGoalCount選項設置爲需要在目標值附近的目標數量。 必須將這些目標劃分爲fun返回的向量F的第一個元素。
   如果也可以計算目標函數的梯度，並且SpecifyObjectiveGradient選項爲true，則設置爲options = optimoptions('fgoalattain','SpecifyObjectiveGradient',true)，那麼函數fun必須在第二個輸出參數中返回梯度值G，即x處的矩陣。 梯度由點x處的每個F的偏導數dF/dx組成。 如果F是長度爲m且x長度爲n的向量,其中n是x0的長度，則F(x)的梯度G是n×m矩陣，其中G(ij)是偏導數 F(j)相對於x(i)（即第j列的第j列是第j個目標函數F(j)的梯度)。
   <2>. goal:目標需要努力達到的向量的值。
   其中向量的長度與fun返回的目標向量F相同，fgoalattain嘗試最小化向量F中的值以達到goal給出的目標值。
   <3>. nonlcon:計算約束條件中非線性不等式c（x）≤0和非線性等式ceq（x）= 0的函數；
   函數nonlcon接受向量x並返回兩個向量c和ceq。 向量c包含在含有x的非線性不等式中，並且ceq包含在含有x的非線性等式中。 函數nonlcon可以通過函數句柄進行指定，比如x = fgoalattain(@myfun,x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq,.. lb,ub,@mycon)，其中mycon就是nonlcon的函數，示例如下：function [c,ceq] = mycon(x) c = ... % compute nonlinear inequalities at x. ceq = ... % compute nonlinear equalities at x.
   <4>. options: 提供選項值的功能特定詳細信息。
   <5>. weight: 加權矢量用於控制fgoalattain中目標的相對不足或超額數值。 當目標值全部爲非零時，爲了確保活動目標的低於或超過相同百分比，將加權函數設置爲abs（goal);
   當加權函數權重爲正時，fgoalattain會嘗試使目標小於目標值。 要使目標函數大於目標值，請將權重設置爲負值而不是正值。 要使目標函數儘可能接近目標值，請使用EqualityGoalCount選項並將該目標作爲fun返回的向量的第一個元素（請參閱前面的fun和options描述）。
   <6>. problem:
   目標：目標函數的向量;
   x0：x的初始點；
   goal：需要實現的目標；
   weight：目標的相對重要性因素；
   Aineq：線性不等式約束的矩陣；
   bineq：線性不等式約束的向量；
   Aeq：用於線性等式約束的矩陣；
   beq：線性等式約束的向量；
   lb：下界矢量；
   ub：上界矢量；
   nonlcon：非線性約束函數；
   solve：‘fgoalattain’；
   options：使用optimoptions創建的選項；

6. 返回值詳解
   <1>. attainfactor: 表徵目標的過度或不足的程度。
   achiefactor包含解決方案中γ的值。 如果attainfactor是負的，那麼設定的目標類似於過擬合; 如果attainfactor是正的，設定的目標便欠擬合。
   <2>. exitflag : 整數標識算法終止的原因。 以下列出了exitflag的值以及算法終止的相應原因。
   1：函數收斂到解x。
   4：搜索方向的幅度小於指定的容差和約束違規小於options.ConstraintTolerance
   5：方向導數的幅度小於指定的容差和約束違規小於options.ConstraintTolerance
   0：迭代次數超出options.MaxIterations或函數評估次數超出options.MaxFunctionEvaluations
   -1：由輸出功能或繪圖功能停止。
   -2：找不到可行點。
   <3>. lambda :在解x中包含拉格朗日乘數的結構（由約束類型分隔）。 結構的範圍是：
   lower：下限lb
   upper：上限ub
   ineqlin：線性不等式
   eqlin：線性均衡
   ineqnonlin：非線性不等式
   eqnonlin：非線性等式
   <4>. output : 包含有關優化的信息的結構。 結構的範圍是：
   iterations：迭代次數
   funcCount：函數評估的數量
   lssteplength：相對於搜索方向的最終行搜索步驟的大小
   stepize：x中的最終位移
   algorithm ：使用的優化算法
   firstorderopt：一階最優性的度量
   constrviolation：約束函數的最大值
   message ：退出消息

7. 應用案例
   某工廠因生產需要欲採購一種原材料，市場上的這種原料有兩個等級，甲級單價2元/千克，乙級單價1元/千克。要求所花總費用不超過200元，購得原料總量不少於100千克，其中甲級原料不少於50千克，問如何確定最好的採購方案。
   設x1、x2分別爲採購甲級和乙級原料的數量（千克），要求採購總費用盡量少，採購總重量儘量多，採購甲級原料儘量多。由題意可得：
   首先需要編寫目標函數的M文件lwj.m，返回目標計算值:

function f=myfun(x)
f(1)=2*x(1)+ x(2); % f(1)表示的是原料採購總費用
f(2)=-x(1)- x(2); % f(2)表示的是採購總重量
f(3)=-x(1); % f(3)甲級原料的總質量

給定目標，權重按目標比例確定，給出初值:
在這裏要注意的地方時，fgoalattain函數以最小優化爲目的，所以目標函數的數值目標（也就是下邊的goal）是≤的時候，係數爲+，目標函數是≥的時候，係數爲-；

    goal=[200 –100 -50]; %goal中的數據表示f(1)，f(2)，f(3)各自的目標數值；
    weight=[2040 –100 -50]; %權重中的數值意義同上
    x0=[55 55]; %初始值x0可自己隨意按照符合條件的數值進行設定【不是真的隨心所欲】，此處55和55符合條件；

給出約束條件的係數:

A=[2 1;-1 –1;-1 0]; % 此處3*2矩陣A中的數值是目標函數的係數矩陣
b=[200 -100 -50]; % 目標函數結果的矩陣

lb=zeros(2,1); %限定條件

調用：

[x,fval,attainfactor,exitflag] =fgoalattain(@lwj,x0,goal,weight,A,b,[],[],lb,[]);  % 函數調用

輸出計算結果:

x =
    50    50
fval =
   150  -100   -50
attainfactor =
  1.3235e-023
exitflag =
     1

所以，最好的採購方案是採購甲級原料和乙級原料各50千克。此時採購總費用爲150元，總重量爲100千克，甲級原料總重量爲50千克。