題意:有n個物品的重量和價值分別是wi和vi。從中選出k個物品使得單位重量的價值最大。
題解:先取前k個元素算出S0 =∑(vi/wi) 作爲初始值,然後對每一個元素(n個)求yi=vi-s0*wi,對yi從大到小排序,取前k個元素算出S,重複上面的運算(每次循環後把S的值賦給S0,然後新一輪循環時S有通過S0計算出來),直到fabs(S-S0)<=eps,滿足精度要求。
正確性證明:
證明其正確性,只要證明每次迭代的S都比上一次的大即可,也即迭代過程中S是單調遞增的,因爲給定的是有限集,故可以肯定,S必存在最大值,即該迭代過程是收斂的。下面證明單調性:
假設上輪得到的S1,則在n個元素中必存在k個元素使S1=∑(vi/wi),變形可得到∑vi-S1*∑wi=0,現對每個元素求yi=vi-S1*wi,可知必存在k個元素使∑yi=∑vi-s1*∑wi=0, 所以當我們按y排序並取前k個元素作爲求其∑y時,其∑y>=0,然後對和式變形即可得到S1=((∑v-∑y)/∑w)<=(∑v/∑w)=s2,即此迭代過程是∑y是收斂的,當等號成立時,此S即爲最大值。
附上代碼:
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
const int maxn=1e5+50;
const double eps=1e-8;
int n,k;
struct node{
double val;
int v,w;
int id;
};
node nodes[maxn];
bool cmp(node a,node b)
{
return a.val>b.val;
}
double get()
{
double sumv=0,sumw=0;
for(int i=0;i<k;i++){
sumv+=nodes[i].v;
sumw+=nodes[i].w;
}
return sumv/sumw;
}
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&k);
for(int i=0;i<n;i++){
scanf("%d%d",&nodes[i].v,&nodes[i].w);
nodes[i].id=i+1;
}
double s1,s2=get();
do{
s1=s2;
for(int i=0;i<n;i++){
nodes[i].val=nodes[i].v-s1*nodes[i].w;
}
sort(nodes,nodes+n,cmp);
s2=get();
}while(fabs(s2-s1)>=eps);
printf("%d",nodes[0].id);
for(int i=1;i<k;i++){
printf(" %d",nodes[i].id);
}
printf("\n");
return 0;
}