小孔模型及畸變總結

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最詳細、最完整的相機標定講解

1. 定義
   $(X_c,Y_c,Z_c)$表示相機座標系下的座標，$(x,y)$表示成像平面座標系歸一化座標，$(u,v)$表示像素座標，$(u_0,v_0)$表示像素中心座標，每個像素佔$\frac{1}{k}$x$\frac{1}{l}$物理座標大小。
2. 像素座標與物理座標關係
   
   $x=(u-u_0)/fk$
   $y=(v-v_0)/fl$
3. 小孔模型
   
   $x=\frac{X_c}{Z_c}$
   $y=\frac{Y_c}{Z_c}$
   假設$(\bar{x},\bar{y})$爲考慮徑向畸變的實際成像座標，則有
   $\left[ \begin{matrix} \bar{x}\\ \bar{y} \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} d(k_1,k_2,r^2)x \\ d(k_1,k_2,r^2)y \end{matrix} \right],$其中$\quad d(k_1,k_2,r^2)=1+(k_1+k_2r^2),r^2=x^2+y^2$
   $\left[ \begin{matrix} \bar{x}-x \\ \bar{y}-y \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} (k_1r^2+k_2r^4)x \\ (k_1r^2+k_2r^4)y \end{matrix} \right]$
   兩邊左乘矩陣
   $\left[ \begin{matrix} fk& 0 \\ 0&fl \end{matrix} \right]$等於
   $\left[ \begin{matrix} \bar{u}-u\\ \bar{v}-v \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} (k_1r^2+k_2r^4)(u-u_0) \\ (k_1r^2+k_2r^4)(v-v_0) \end{matrix} \right]$