「一本通 1.2 練習 3」燈泡（三分/公式法）（三角函數，計算幾何）

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這道題要用帶一點點三角函數。。。

不用怕，只要有理性的思維，是可以知道怎麼做的

度娘！

說說我對三角函數的理解吧，簡單來說，就是如果你知道直角三角形的一個銳角，那你就知道了這個直角三角型的形狀了（求出三個角的角度數），那麼如果由另一個直角三角型的三個角也跟這個三角形相等，那麼他們兩個是可以通過比例轉化的，他們三條邊中任意兩條邊之比也相等（也就是任意兩條邊之比如果角的度數固定了，那麼這倆條邊的比就固定了）。

安利：

那麼，假設人的影子沒有在牆上，那麼，人從燈底往右走，走越遠影子越長！那麼最長的情況就是這樣：

由於比相同，設影長爲L，設人離燈x米遠。
$H:D=h:L$
$所以Dh=HL$
$Dh/H=L$

那麼我們得出了，在影子全在地上，L的最大值爲Dh/H，這時x爲D-Dh/H，設left=D-Dh/H
那麼，如果影子全在牆上，則L=h，x=D，設right爲D。
如果影子在牆上，就比較抽象了。。。

然後呢。。。？

那麼:

$那麼（H-h）:x=kk:(D-x)$
$(H-h)*(D-x)=x*kk$
$(H-h)*(D-x)/x=kk$
那麼在牆上的影子就是
$h-kk=h-(H-h)*(D-x)/x=H-(H-h)*D/x$
$L=D-x+(h-kk)=D-x+H-(H-h)*D/x$
$=D+H-(x+(H-h)*D/x)$

那麼就是要讓$x+(H-h)*D/x$取最小值，可以證明，在正數區間，$x+(H-h)*D/x$是個開口向上的單峯函數。

證：
情況1：x增加y，$(H-h)*D/x$減小的數大於y
情況2：x增加y，$(H-h)*D/x$減小的數小於y
又由於x越大，$(H-h)*D$/x減小的數字越小，所以，會由情況1慢慢轉爲情況2，於是便由下降變爲上升，成單峯勢。

於是，$D+H-(x+(H-h)*D/x)$便是個開口向下的單峯函數！（那你整這麼一大坨有什麼用？）

早說有圖片！

實現：
l=left,r=right;
當答案=l時，代表影子全在地上的最大值。
當答案=r是時，代表影子全在牆上的最大值。
當答案=(l,r)時，代表影子一半在牆上，一半在地上的最大值。

代碼:

#include<cstdio>
#include<cstring>
using  namespace  std;
typedef  long  long  ll;
inline  double  mymax(double  x,double  y){return  x>y?x:y;}
inline  double  cai(double  H,double  h,double  D,ll  x)
{
	double  xx=x/10000.0;
	return  H+D-xx-((H-h)*D)/xx;
}//之前推出的函數 
double  sanfen(double  H,double  h,double  D)
{
	ll  l=ll((D-(h*D)/H)*10000.0),r=ll(D*10000.0);//乘以10000轉ll 
	ll  m1,m2;
	while(l<r)//三分 
	{
		m1=(l+r)/2;m2=(l+r)/2+1;
		if(cai(H,h,D,m1)>cai(H,h,D,m2))r=m1;
		else  l=m2;
	}
	return  cai(H,h,D,l);//真象只有一個，l或r就是答案 
}
int  main()
{
	int  T;scanf("%d",&T);
	while(T--)
	{
		double  H,h,D;scanf("%lf%lf%lf",&H,&h,&D);
		printf("%.3lf\n",sanfen(H,h,D));//輸出 
	}
	return  0;
}

公式法：

因爲這個我看了好久題解（淚奔）(:光速逃

那麼，如果是經驗豐富的巨佬，一定會想到公式法。。。

$我們設(H-h)*D爲A，設B、C、D爲x的一個取值。$
$C爲x+(H-h)*D/x的單峯$
$且B<C<D$
$則有B+A/B>C+A/C<D+A/D$
$由B+A/B>C+A/C所得$
$B-C>A/C-A/B$
$B-C>A(B-C)/BC$
$BC(B-C)>A(B-C)$
$BC<A$
$又因爲C<B，所以BC<C^2$
那是不是代表$A=C^2$~~證出來了，耶！~~想太多

安利：

$但是，由C+A/C<D+A/D可得$
$C-D<A/D-A/C$
$C-D<A(C-D)/CD$
$CD(C-D)<A(C-D)$
$CD>A$
$又因爲D>C,所以CD>C^2$
那麼我們就可以名正言順說$A=C^2$耶！
所以$C=sqrt(A)$
所以，當$x$等於$sqrt((H-h)*D)$時，$x+(H-h)*D/x$位於單峯上，同時$D+H-(x+(H-h)*D/x)$也位於單峯上

當然，當$x<=left$時，由於$D+H-(x+(H-h)*D/x)$是個開口向下的單峯函數，且$x=[left,right]$所以x=left。
同理當$x>=right$時，x=right！

代碼：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
using  namespace  std;
int  main()
{
	int  T;scanf("%d",&T);
	while(T--)
	{
		double  H,h,D;scanf("%lf%lf%lf",&H,&h,&D);
		double  x=sqrt((H-h)*D);
		if(x<=D-(h*D)/H)printf("%.3lf\n",(h*D)/H);//全在地上
		else  if(x>=D)printf("%.3lf\n",h);//全在牆上
		else  printf("%.3lf\n",H+D-x*2);//一部分在地上，一部分在牆上
	}
	return  0;
}

光速逃，耶！寫完了！