HDU5985 Lucky Conins 概率題

Lucky Conins

題意

最多共$10$種硬幣,所有的硬幣之和不超過$100000$,每次將所有的硬幣拋出,第$i$中硬幣正面朝上的概率爲$p_i$,將反面朝上的硬幣移除掉.直至最後剩一種硬幣或沒有硬幣則停止.若最後剩餘一種硬幣,則稱這種硬幣是幸運的,求每種硬幣的幸運概率.

題解

推公式題.

假設我們要求第$i$種硬幣成爲幸運硬幣的概率,那麼我們可以求其在第$x$步成爲幸運硬幣的概率,然後對$x$求和即可.

計算硬幣$i$在$x$步成爲幸運硬幣的概率:

一.第$i$種硬幣,必須在第$x$步至少剩$1$個:

[1] : $Alive[i,x] = 1-(1-p_i^x)^{c_i}$

硬幣$i$在第$x$步存活:$p_i^x$,在第$x$步及之前死亡:$1-p_i^x$,第$i$種所有硬幣在第$x$步都死亡$(1-p_i^x)^{c_i}$,第$i$種在第$x$步至少剩餘一個硬幣$1-(1-p_i^x)^{c_i}$

二. 第$j$種硬幣,至少有一枚要在第$x-1$步存活,第$x$步死亡

先考慮對於第$j$種硬幣,它至少有一枚硬幣第$x-1$步存活,在第$x$步死亡的概率.

假設第$j$種有$t$枚硬幣在第$x-1$步存活,在第$x$步死亡:

$C_{c_j}^t(p_j^{x-1})^t(1-p_j^{x-1})^{c_j-t}(1-p_j)^t = C_{c_j}^t(p_j^{x-1}-p_j^{x})^t(1-p_j^{x-1})^{c_j-t}$

對$t$從$1$到$c_j$求和,利用二項式定理我們得到了第$j$種硬幣,它至少有一枚硬幣第$x-1$步存活,在第$x$步死亡的概率:

[2] : $(1-p_j^{x})^{c_j}-(1-p_j^{x-1})^{c_j}$.

三.除第$i$種之外的所有硬幣,至少有$1$枚在$x-1$步存活,在第$x$步死亡

爲避免重複計算

設$j$是不與$i$相等的數中最小的.
我們考慮是第$j$種硬幣起到了這個作用,那麼$j$種以後的硬幣只要滿足在$x$步及之前死光即可.

然後再考慮是$j+t$種硬幣起到了這個作用,那麼$j+t$種以後的硬幣只要滿足在$x$步及之前死光即可,並且要滿足第$j+t$種之前的硬幣必須不能起作用(即在$x-1$步及之前就必須全部死光),否則會算重.

也就是說我們需要記錄$lft[j,x]$表示$j$種之前的硬幣全部在第$x-1$步及之前就死光.記錄$rgt[j,x]$表示$j$種之後的硬幣全都在第$x$步及之前就死光.
其中$lft[j,x] = \sum_{t \ne i,t < j}(1-p_t^{x-1})^{c_t}$,$rgt[j,x] = \sum_{t\ne i,t > j}^n(1-p_t^x)^{c_t}$
那麼這部分的答案就是

$\sum_{j \ne i}((1-p_j^{x+1})^{c_j}-(1-p_j^x)^{c_j})*lft[j,x]*rgt[j,x]$

四.最終公式

$(1-(1-p_i^x)^{c_i})\sum_{j \ne i}(((1-p_j^{x})^{c_j}-(1-p_j^{x-1})^{c_j})*lft[j,x]*rgt[j,x])$

代碼

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#define pr(x) std::cout << #x << ':' << x << std::endl
#define rep(i,a,b) for(int i = a;i <= b;++i)

double p[11];
int cnt[11];
int n;
const int lim = 50;
double fastpow(double x,int n) {
	double res = 1.0;
	while(n) {
		if(n&1) res *= x;
		x *= x;
		n >>= 1;	
	}
	return res;
}	

double f(int id,int x) {
	return fastpow(1-fastpow(p[id],x),cnt[id]) - fastpow(1-fastpow(p[id],x-1),cnt[id]);
}

double calc(int i) {
	double ans = 0;
	rep(x,1,lim) {
		double res = 1-fastpow(1-fastpow(p[i],x),cnt[i]);
		double tmp = 0,lft = 1;
		rep(j,1,n) {
			if(j == i) continue;
			double rgt = 1;
			rep(t,j+1,n) {
				if(i == t) continue;
				rgt *= fastpow(1-fastpow(p[t],x),cnt[t]);
			}
			tmp += f(j,x)*lft*rgt;
			lft *= fastpow(1-fastpow(p[j],x-1),cnt[j]);
		}
		ans += res * tmp;
	}
	return ans;
}
int main() {
	int T;
	std::cin >> T;
	while(T--) {
		std::cin >> n;
		rep(i,1,n) {
			std::cin >>	cnt[i] >> p[i];
		}
		if(n == 1) {
			printf("%.6f\n",1.0);
			continue;
		}
		rep(i,1,n) {
			if(i != 1) printf(" ");
			printf("%.6f",calc(i));
		}
		puts("");
	}
	return 0;
}