[DP]hihoCoder #1147 時空陣 題解

題目大意

給出一個$n$個點的圖，現允許任意兩點之間建立長度爲1的無向邊（不允許重邊），問有多少種建圖方案滿足1到$n$的最短路距離爲$K$。$n,K\le100$

解題分析

很妙的DP！可以考慮對這個圖進行分層，第$i$層上所有點的最短路距離都爲$i$，那麼1在第0層，$n$就在第$K$層，每一層都只能與上一層或這一層中的節點相連。設$f[i][j][k]$爲前$i$層一共使用$j$個節點，其中第$i$層有$k$個節點的合法方案。枚舉前一層有$x$個，那麼明顯轉移方程爲
$f[i][j][k]=\sum f[i-1][j-k][x]*C_{n-j+k+1}^{k}*(2^x-1)^k*2^{C_k^2}$
但是注意如果枚舉到第$K$層，那麼由於這一層必須有$n$，所以轉移方程有一些細節需要調整，而且排完所有層後會存在一些落單的節點，那麼這些節點是不能與第$K$層的節點相連的。

示例代碼

題目傳送門

#include<cstdio>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int tt=1e9+7;
int n,K,C[105][105],pw[10005];
LL ans,f[105][105][105];
void maken(){
	for (int i=0;i<=n;i++) C[i][0]=1;
	for (int i=1;i<=n;i++)
		for (int j=1;j<=i;j++)
			C[i][j]=(C[i-1][j]+C[i-1][j-1])%tt;
	pw[0]=1; for (int i=1;i<=n*n;i++) pw[i]=pw[i-1]*2%tt;
}
LL ksm(LL x,int y){
	LL sum=1,w=x;
	for (;y;y>>=1,w=w*w%tt) if (y&1) sum=sum*w%tt;
	return sum%tt;
}
int main()
{
	freopen("portal.in","r",stdin);
	freopen("portal.out","w",stdout);
	scanf("%d%d",&n,&K); maken(); f[0][1][1]=1;
	for (int i=1;i<=K;i++)
		for (int j=i+1;j<=n-K+i;j++)
			for (int k=1;k<=j-i;k++){
				LL tem=(i==K)?C[n-j+k-1][k-1]:C[n-j+k-1][k];
				for (int x=1;x<=j-k-i+1;x++)
					f[i][j][k]=(f[i][j][k]+f[i-1][j-k][x]*tem%tt*ksm(pw[x]+tt-1,k)%tt*pw[C[k][2]]%tt)%tt;
				if (i==K) ans=(ans+f[i][j][k]*pw[k*(n-j)+C[n-j][2]]%tt)%tt;
			}
	printf("%lld",ans);
	return 0;
}