介紹
相信大部分人在閱讀論文或者求解問題過程中都會看到，這不就是NP問題之類的話。然後便去google什麼是NP問題，之後仍是一頭霧水，本人最開始也深受困擾，之後決心搞懂這類問題的真正含義，經過一番探究之後，纔不由感慨數學的精妙。在這裏感謝 Matrix67 這位博主，能夠將這麼複雜的問題解釋的如此條理清晰與明確，學習之後深受啓發！本文主要目的更多爲進行的知識整理和鞏固，方便日後複習。
時間複雜度的概念
在進行NP問題介紹之前，先對時間複雜度這個概念進行概括
時間複雜度是指執行算法所需要的計算工作量，即當問題規模擴大後，程序需要的時間長度增長得有多快。
也就是說，對於高速處理數據的計算機來說，處理某一個特定數據的效率不能衡量一個程序的好壞，而應該看當這個數據的規模變大到數百倍後，程序運行時間是否還是一樣，或者也跟着慢了數百倍，或者變慢了數萬倍。
不管數據有多大，程序處理花的時間始終是那麼多的，我們就說這個程序很好，具有O(1)的時間複雜度，也稱常數級複雜度；
數據規模變得有多大，花的時間也跟着變得有多長，這個程序的時間複雜度就是O(n)，比如找n個數中的最大值；
而像冒泡排序、插入排序等，數據擴大2倍，時間變慢4倍的，屬於O(n^2)的複雜度。
還有一些窮舉類的算法，所需時間長度成幾何階數上漲，這就是O(a^n)的指數級複雜度，甚至O(n!)的階乘級複雜度。
容易看出，幾類複雜度被分爲兩種級別：
- 一種是O(1),O(log(n)),O(n^a)等，我們把它叫做 多項式級的複雜度，因爲它的規模n出現在底數的位置；
- 另一種是O(a^n)和O(n!)型複雜度，它是非多項式級的複雜度，其複雜度計算機往往不能承受。
當我們在解決一個問題時，我們選擇的算法通常都需要是多項式級的複雜度，非多項式級的複雜度需要的時間太多，往往會超時，除非是數據規模非常小。
問題：會不會所有的問題都可以找到複雜度爲多項式級的算法呢？
NO!
如問題：輸出從1到n這n個數的全排列。
無論你如何輸出，輸出的複雜度都是n!
當然，有人說，這樣的“問題”不是一個“正規”的問題，正規的問題是讓程序解決一個問題，輸出一個“YES”或“NO”（這被稱爲判定性問題），或者一個什麼什麼的最優值（這被稱爲最優化問題）。
如Hamilton迴路 問題：
給你一個圖，問你能否找到一條經過每個頂點一次且恰好一次（不遺漏也不重複）最後又走回來的路（滿足這個條件的路徑叫做Hamilton迴路）。
這個問題現在還沒有找到多項式級的算法。
P問題
如果一個問題可以找到一個能在多項式的時間裏解決它的算法，那麼這個問題就屬於P問題。
NP問題
NP並不意味着非P類問題
NP問題是指這樣一類問題：在多項式的時間裏求一個解很難，但在多項式的時間裏驗證一個解很容易。
即，在一個題中，找一個解很困難，但驗證一個解很容易。
當然也有不是NP問題的問題，即你猜到了解但是沒用，因爲你不能在多項式的時間裏去驗證它。
下面我要舉的例子是一個經典的例子，它指出了一個目前還沒有辦法在多項式的時間裏驗證一個解的問題。很顯然，前面所說的Hamilton迴路是NP問題，因爲驗證一條路是否恰好經過了每一個頂點非常容易。但我要把問題換成這樣：試問一個圖中是否不存在Hamilton迴路。這樣問題就沒法在多項式的時間裏進行驗證了，因爲除非你試過所有的路，否則你不敢斷定它“沒有Hamilton迴路”。
很顯然，所有的P類問題都是NP問題。也就是說，能多項式地解決一個問題，必然能多項式地驗證一個問題的解——既然正解都出來了，驗證任意給定的解也只需要比較一下就可以了。關鍵是，人們想知道，是否所有的NP問題都是P類問題。即P=NP?
NP-完全問題
首先介紹 約化 的概念：一個問題A可以約化爲問題B的含義即是，可以用問題B的解法解決問題A
比如說，現在有兩個問題：求解一個一元一次方程和求解一個一元二次方程。那麼我們說，前者可以約化爲後者，意即知道如何解一個一元二次方程那麼一定能解出一元一次方程。
這個規則即是：兩個方程的對應項係數不變，一元二次方程的二次項係數爲0。按照這個規則把前一個問題轉換成後一個問題，兩個問題就等價了。
“問題A可約化爲問題B” 有一個重要的直觀意義：B的時間複雜度高於或者等於A的時間複雜度。也就是說，問題A不比問題B難。
從約化的定義中我們看到，一個問題約化爲另一個問題，時間複雜度增加了，問題的應用範圍也增大了。通過對某些問題的不斷約化，我們能夠不斷尋找複雜度更高，但應用範圍更廣的算法來代替複雜度雖然低，但只能用於很小的一類問題的算法。
再回想前面講的P和NP問題，聯想起約化的傳遞性，自然地，我們會想問，如果不斷地約化上去，不斷找到能“通吃”若干小NP問題的一個稍複雜的大NP問題，那麼最後是否有可能找到一個時間複雜度最高，並且能“通吃”所有的 NP問題的這樣一個超級NP問題？ 答案當然是肯定的。
換句話說，只要解決了這個問題，那麼所有的NP問題都解決了。這種問題的存在難以置信，並且更加不可思議的是，這種問題不只一個，它有很多個，它是一類問題。這一類問題就是傳說中的NPC 問題，也就是NP-完全問題。
NPC問題的出現使整個NP問題的研究得到了飛躍式的發展。我們有理由相信，NPC問題是最複雜的問題。
NPC問題的定義非常簡單。同時滿足下面兩個條件的問題就是NPC問題。
首先，它得是一個NP問題； 然後，所有的NP問題都可以約化到它。
證明一個問題是 NPC問題也很簡單。先證明它至少是一個NP問題，再證明其中一個已知的NPC問題能約化到它
現在被證明是NPC問題的有很多，任何一個找到了多項式算法的話所有的NP問題都可以完美解決了。因此說，正是因爲NPC問題的存在，P=NP變得難以置信。
NP-Hard問題
順便講一下 NP-Hard問題
NP-Hard問題是這樣一種問題，它滿足NPC問題定義的第二條 所有的NP問題都可以約化到它 ，但不一定要滿足第一條（就是說，NP-Hard問題要比 NPC問題的範圍廣）。
NP-Hard問題同樣難以找到多項式的算法，但它不一定是NP問題。即使NPC問題發現了多項式級的算法，NP-Hard問題有可能仍然無法得到多項式級的算法。