codeforces 992E. Nastya and King-Shamans

樹狀數組 二分

題目傳送門

題目大意： 維護一個數列，每次操作爲先修改一個數，再詢問是否存在一個位置$i$滿足$w[i]=sum[i-1]$並輸出這個位置。

妙蛙

問題要求出滿足 $A_x=sum_{x−1}$ 的位置，這個可以轉化爲 $sum_x=2sum_{x−1}$

我們考慮從 $A_p=1$ 開始跳，每一次跳到其後面一個最小的 $k−1$ ，滿足$sum_k≥2sum_p$

可以證明如果有答案且 $sum_{ans}>0$，那麼答案一定在所有的 $k$ 之中產生

不妨用反證法來證明，假設當且跳到點 $k$ ，接下來選取的點是 $k′ (k<k′)$，對於 $k<i<k′−1$

如果說 $i$ 是答案的話，設 $y$ 爲 第一個滿足 $sum_y\geq2sum_i$ 的點。

因爲$sum_y≥sum_k$ 所以必然有 $y≥k′$ ，如果 $i<k′−1$ 那麼 $y−i>1$ ,i 不是答案

所以證明了這樣跳，如果有答案的話答案必然在跳到的點上

所以可以用樹狀數組維護前綴和，每一次暴力二分跳，跳 $log$ 次就能跳完，總複雜度是$O(nlog^3n)$

------Mangoyang

代碼：

#include<cctype>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define N 200005
#define F inline
using namespace std;
typedef long long LL;
int n,q,a[N]; LL t[N];
F char readc(){
	static char buf[100000],*l=buf,*r=buf;
	if (l==r) r=(l=buf)+fread(buf,1,100000,stdin);
	return l==r?EOF:*l++;
}
F int _read(){
	int x=0; char ch=readc();
	while (!isdigit(ch)) ch=readc();
	while (isdigit(ch)) x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48),ch=readc();
	return x;
}
F void mdfy(int x,LL w){ for (;x<=n;x+=x&-x) t[x]+=w; }
F LL srch(int x){ LL s=0; for (;x;x-=x&-x) s+=t[x]; return s; }
F int pd(int x){
	int l=x+1,r=n,ans=x,mid; LL s=srch(x)<<1;
	while (l<=r)
		if (srch(mid=l+r>>1)<s) ans=mid,l=mid+1;
		else r=mid-1;
	return ans;
}
F int calc(){
	if (!t[1]) return 1;
	for (int x=1;x<n;x=max(x+1,pd(x)))
		if (srch(x+1)==srch(x)<<1) return x+1; 
	return -1;
}
int main(){
	n=_read(),q=_read();
	for (int i=1;i<=n;i++) a[i]=_read(),mdfy(i,a[i]);
	for (int p,x;q;q--)
		p=_read(),x=_read(),mdfy(p,x-a[p]),a[p]=x,printf("%d\n",calc());
	return 0;
}