0. 概述
之前，我們討論了正運動學的內容，從這裏開始，我們就來開始看看逆運動學的東西。逆運動學回比正運動學複雜些許。所謂逆運動學就是已知工具座標系相對於工作臺座標系的期望位姿，要求計算出一系列滿足期望條件的關節角。
1. 可解性
求解操作臂逆運動學方程是個非線性的問題。我們已知
要求：
我們回顧一下之前的內容：
下面這個是之前求出來的PUMA560的正運動學方程，我們現在相當於把整個過程反過來了，左邊的12個參數是已知的，只有六個關節角是未知的。
tip：二角公式
我們需要做的就是解方程的工作，話是這麼說沒錯，但是做起來還是沒那麼簡單，畢竟這些方程都是非線性的超越方程。那麼如同其他非線性超越方程一樣，我們都需要考慮他們的解的存在性、多重解性和求解方法
1.0 解的存在性
我們知道，方程存在無解的情況，在這種情況下，解是否存在取決於操作臂的工作空間，我們從直觀上看就像下面這樣，紅色部分框起來的就是機械臂的工作空間，那麼運動學方程的解就只在紅色方框內才能找到。在紅色方框之外的部分，運動學方程是無解的。
對工作空間嚴格的定義有兩種：
1.靈巧工作空間：指機器人末端執行器能夠從各個方向到達的區域
2.可達工作空間：指機器人末端執行器至少能從一個方向到達的區域
工作空間也取決於工具座標系的變換，因爲所討論的工具端點一般就是我們所說的可達空間點。一般來說，工具座標系的變換與操作臂的運動學和逆運動學無關，所以一般研究腕部座標系{W}的工作空間。對於一個給定的末端執行器，定義工具座標系{T}，給定目標座標系{G}，去計算相應的座標系{W}。
1.1 多重解問題
在求解時，我們很可能會遇到這樣一種問題。就是多重解問題。比如一個具備三個旋轉關節的平面操作臂，在沒有任何障礙的情況下，可以從任意方位到達工作空間中的任意位置。因此具有較大的靈巧工作空間。
無論有幾個解，我們始終只能從中挑選一個來作爲最終的最優解。我們選取的標準是變換的，比如常見的最短行程。
一般來說，連桿的非零參數越多，達到某一特定目標的方式就越多，解就越多。
1.2 解法
與線性方程組不同，非線性方程組沒有通用的解法。
通常我們分爲封閉解法和數值解法兩種大類
封閉解法：
也稱解析解，就是根據嚴格的公式推導，給出任意的自變量就可以求出其因變量，也就是問題的解，然後可以利用這些公式計算相應的問題。是一種包含分式、三角函數、指數、對數甚至無限級數等基本函數的解的形式。
數值解法：
數值解是採用某種計算方法，如有限元法， 數值逼近法，插值法等得到的解。別人只能利用數值計算的結果，而不能隨意給出自變量並求出計算值。
當無法藉由微積分技巧求得解析解時，這時便只能利用數值分析的方式來求得其數值解了。在數值分析的過程中，首先會將原方程加以簡化，以利於後來的數值分析。例如，會先將微分符號改爲差分（微分的離散形式）符號等，然後再用傳統的代數方法將原方程改寫成另一種方便求解的形式。這時的求解步驟就是將一自變量帶入，求得因變量的近似解，因此利用此方法所求得的因變量爲一個個離散的數值，不像解析解爲一連續的分佈，而且因爲經過上述簡化的操作，其正確性也不如解析法可靠。