0. 代數解法和幾何解法

0.0 代數解法

我們用三連桿的平面操作臂爲例：
就像這樣的：

我們可以得出他的D-H參數表：

根據我們之前說過的知識。我們可以得到基座標繫到腕部座標系的變換矩陣，即正運動學方程：

由於我們是在討論平面內的逆運動學，所以我們只需要確定三個量就可以確定目標點的位姿。這三個量分別是x,y,Φ，Φ是連桿3在平面內的方位角。
由此，我們可以寫出另一個運動學方程：

聯立兩個運動學方程可得：

將（4-10）和（4-11）同時平方，兩式相加化簡可得：

由於這時，式中只有c2一個未知量，所以我們可以很容易地解出c2

得到的c2的值如果在-1到1之間的話，說明有解。否則說明無解，目標點超出了操作臂的工作空間。
如果有解的話，那麼我們就可以接下去做了：

根據二幅角反正切公式得：

這樣子做是爲了求得所有的解，且所求的角度是在適當的象限裏的。
現在我們已經得到θ2的值了，那麼意味着s2 c2都是已知量。那麼（4-10）和（4-11）中只有θ1一個未知量。那麼我們就可以通過（4-10）和（4-11）求出θ1。
我們可以將（4-10）和（4-11）變成下面的形式：

其中：

接下來就是重要的一步：
假設：

那麼就有：

那麼將上式代入（4-17）和（4-18）我們就可以得到這樣的式子：

我們可以驚奇地發現，右式是一種可以化簡的形式，那麼我們可以化簡得到：

利用二幅角反正切公式得：

從而：

我們到此已經得到θ1和θ2的值了，那麼再回過頭看（4-8）和（4-9），我們可以由此得出關於θ3的方程：

由此解出θ3

0.1 幾何解法

在幾何解法中，我們爲了得出操作臂的解，需要將操作表的空間幾何參數轉換到平面幾何參數上去，用幾何解法可以解許多操作表的運動學，而且相當容易直觀。

還是拿剛剛的操作臂舉例：

觀察幾何關係的部分我就不多說了，有高中數學基礎的小夥伴們都可以自行尋找出來：
我們可以直接根據找到的幾何關係，運用餘弦定理求解θ2：

由於：

解得：

爲求出θ1，我們需要建立兩個中間的輔助角，β和Ψ，最後θ1 = β ± Ψ，因爲可能會有兩個解。

最後：

這樣就可以通過幾何關係求解該操作臂的逆運動學了。